3対3の対抗戦の勝敗
問 $\Sigma$ 高校の生徒 $A,B,C$ と $\Pi$ 高校の生徒 $X,Y,Z$ が $3$ 対 $3$ の総当たり戦を行ったところ，次のような結果になった．
・$3$ 試合すべてに勝った生徒はいなかった．
・$Y$ は $C$ に勝った．
・$B$ は $X$ に勝った．
・$A$ は $B$ が負けた相手には負けなかった．
・$B$ は $C$ が負けた相手には負けなかった．
・$C$ は $A$ が負けた相手には負けなかった．
このとき，$C$ が勝った相手をすべて求めよ．ただし，引き分けはないとする．
2018/4/23
論理
★★☆☆☆
あみだくじと横線の最小本数
問 下図のあみだくじを完成させるためには，最低何本の横線を引かなければならないか．
2018/4/12
その他
★☆☆☆☆
積が一定の互いに素な $3$ 数の組の個数
問 正の整数の組 $(a,b,c)$ であって，$a< b< c,abc=47!$ をみたし，かつ $a,b,c$ のどの $2$ つも互いに素であるようなものはいくつあるか．
2018/3/26
組合せ
★☆☆☆☆
分数和の不等式の証明
問 $n$ を正の整数とするとき，次の不等式を示せ． $$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3} <\frac{5}{4}$$
2018/3/22
代数
★★★☆☆
円に内接する八角形の面積
問 下図のように円に内接する八角形 $ABCDEFGH$ の面積を求めよ．
2018/3/15
幾何
★★☆☆☆
ある等式を満たす素数の不存在証明
問 どのような整数 $a,b$ に対しても，次の等式を満たす素数 $p$ は存在しないことを示せ． $$2p=a^4+b^4+(a+b)^4$$
2018/2/8
整数
★★☆☆☆
下位の桁よりも数字が大きい自然数の個数
問 つぎの $2$ 条件を満たす自然数はいくつあるか．
($1$) 各桁の数字が $1$ から $9$ のいずれかである．
($2$) どの桁の数字についても，それより下位の桁のどの数字よりも大きい．
たとえば，$2,961,6432$ などは条件を満たすが，$314,9032$ などは条件を満たさない．
2018/2/7
組合せ
★☆☆☆☆
どの実数もそれ以外の平均以下であるための条件
問 つぎの条件を満たす $n$ 個の実数の組 $(a_1,...,a_n)$ をすべて求めよ．
条件： どの実数 $a_i$ $(1\le i \le n)$ に対しても，$a_i$ は残りの実数の平均以下である．
2018/2/6
代数
★★☆☆☆
ドラゴン討伐の魔法の最小発動回数
問 ある山には $2018$ 匹のドラゴン $A_1,...,A_{2018}$ が棲んでいる．ドラゴン $A_i$ の首の本数は $i$ 本 ($1\le i \le 2018$) である．
ドラゴン討伐の依頼を受けたあなたは，魔法の剣を使って，この山のすべてのドラゴンの首を切り落とす使命が課せられた．魔法の剣はつぎの魔法を何度でも発動できる．
魔法： $1$ 匹以上のドラゴンを指定し，それらの首をそれぞれ $k$ 本切り落とす．
ただし，$k$ は $1\le k \le $ (指定したドラゴンのまだ切り落とされていない首の本数の最小値) の範囲で自由に選ぶことができる．
$2018$ 匹のドラゴンの首をすべて切り落とすための魔法の最小発動回数を求めよ．
2018/1/28
その他
★★★☆☆
直角三角形と内心
問 $\angle A=90°$ の直角三角形 $ABC$ がある．$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とする．点 $A$ を通り，点 $D$ で辺 $BC$ に接する円と辺 $AB$ との交点で $A$ と異なるものを $E$ とすると，直線 $AC$ と直線 $DE$ は点 $F$ で交わった．このとき，点 $D$ は $△ABF$ の内心であることを示せ．
2018/1/24
幾何
★★★☆☆
黒板に書かれた数を増やす遊び
問 黒板に整数 $1,2$ が書かれている．あなたは，次の操作で新しい数を黒板に書き足すことが許されている．
操作：黒板に整数 $a,b$ が書かれているならば $2ab+a+b$ を書くことができる．
この操作を何回か繰り返すことで，黒板に $15187$ を書くことはできるか.
2018/1/20
整数
★★★☆☆
$5$ つの領域の塗り分け
問 $10$ 種類の色を使って，下図の $5$ つの領域を塗り分ける．隣り合った領域には異なる色を用いるとき，塗り分け方は何通りあるか．ただし，回転や裏返しにより重なり合う塗り方も異なるものとして数える．
2018/1/18
組合せ
★★☆☆☆
数字を当てはめて式を最大化する
問 次の $5$ つの $\bigcirc$ に $1,2,3,4,5$ のいずれかをひとつずつ当てはめて，$S$ の値を最大にせよ． $$S=5\times \bigcirc +1\times \bigcirc +0\times \bigcirc +4\times \bigcirc +6\times \bigcirc$$
2018/1/8
代数
★★☆☆☆
特殊な作図装置による最短の作図時間
問 縦，横，斜め，どの方向でも秒速 $1cm$ で動けるペンを備えた作図装置がある．ペンが紙についていれば動きに従って線が描かれ，ペンが紙から離れていれば，何も描かれない．この装置で下の図形を描くのに最短で何秒かかるか．ただし，ペンを紙につけたり離したりするのに時間はかからないものとする．
2018/1/5
その他
★☆☆☆☆
$3$ 辺の長さが素数，面積が整数の三角形
問 $3$ 辺の長さが素数であり，面積が整数であるような三角形は存在するか．
2017/12/21
幾何
★★☆☆☆
切手を買った枚数を求める
問 $140$ 円切手，$280$ 円切手，$310$ 円切手をいくつか買ったところ合計代金が $4100$ 円となった．$310$ 円切手を買った枚数を求めよ．ただし，買っていない切手があってもよいとする．
2017/12/18
整数
★☆☆☆☆
ポリアの壺
問 $a,b,c,n$ を自然数とする．袋の中に $a$ 個の赤球と $b$ 個の青球が入っている．『袋の中から無造作に球をひとつ取り出して袋にもどし，取り出した球と同じ色の球を袋の中に $c$ 個追加する』という試行を繰り返す．$n$ 回目の試行で赤球を取り出す確率を求めよ．
2017/12/11
組合せ
★★★☆☆
二項演算子と方程式
問 任意の $0$ でない実数 $a,b,c$ に対して，二項演算子 $\star$ は次の $2$ 条件を満たす．
・$a \star a=1$
・$a \star (b\star c)=(a \star b)\times c$
ここで，$\times$ は通常の積を表す．
このとき，次の方程式を解け．
$$1\star (2 \star x)=1 \star x$$
2017/10/12
代数
★★☆☆☆
正方形と内部の点 $P$
問 下図のように，正方形 $ABCD$ の内部に点 $P$ があり，$BP=2，CP=4，DP=6$ を満たしている．このとき，$\angle BPC$ の値を求めよ．
2017/10/5
幾何
★★☆☆☆
立方数となるような式
問 $n$ を自然数とする． $$n!+2$$ が立方数となるような $n$ をすべて求めよ．
2017/10/4
整数
★☆☆☆☆
同じ色の玉が $3$ つ以上連続しない並べ方
問 赤球と青球をそれぞれ $5$ つずつ一列に並べるとき，同じ色の球が $3$ つ以上連続しない並べ方は何通りあるか．
2017/9/21
組合せ
★★☆☆☆
$5$ で割り切れる多項式
問 $x,y,z$ を整数とする．このとき， $$(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5$$ はつねに $5$ の倍数であることを示せ．
2017/9/5
代数
★★☆☆☆
対角線のなす角度の和
問 下図は，正方形を $3$ つ並べてできた図形である．$\alpha+\beta$ は何度か．
2017/5/21
幾何
★☆☆☆☆
制約条件のある分数式の値
問 実数 $x$ が $x^2-x-1=0$ を満たすとき， $$\frac{x^{32}-1}{2x^{17}-x^{16}}$$ の値を求めよ．
2017/4/24
代数
★★☆☆☆
交差しないマッチングの組み合わせ
問 円周上に相異なる $10$ 個の点がある．これらの点と点を次の $2$ つの条件を満たすように線分で結ぶ方法は何通りあるか．
$1:$ どの点もちょうどひとつの線分の端点になっている．
$2:$ どの線分も交差しない．
たとえば，下図は上の $2$ つの条件を満たすもののひとつである．
2017/4/6
組合せ
★★☆☆☆
2つの長方形の面積の大小
問 次の二つの図において，赤色の長方形の面積と，２つの青色の長方形の面積の和はどちらが大きいか．
ただし，赤色の長方形は大きな長方形に接しており，２つの青色の長方形は，赤色の長方形の接点を通る２つの直線によってつくられている．
2017/4/5
幾何
★★☆☆☆
漸化式で定められた多項式列
問 多項式の列 $\{f_k(x)\}$ をつぎのように定める. $$・f_0(x)=1，f_1(x)=x$$ $$・f_{k+2}(x)=x\cdot f_{k+1}(x)-f_{k}(x) (k\ge 0)$$ このとき任意の自然数 $m，n$ について，$f_{(m+1)n+m}(x)$ は $f_{m}(x)$ で割り切れることを示せ．
2017/3/29
代数
★★★☆☆
二項係数の積の和
問 $a+b+c=7$ をみたす非負整数の組 $(a,b,c)$ すべてについて $${}_{10} \mathrm{C} _a\dot {}_{10} \mathrm{C} _b\dot {}_{10} \mathrm{C} _c$$ を足し合わせたものの値はいくつか．
2017/3/20
組合せ
★★☆☆☆
すべての内角が120度である六角形
問 すべての内角が $120°$ である六角形 $ABCDEF$ について，次の等式が成り立つことを示せ． $$AB-DE=BC-EF=CD-AF$$ ただし，$XY$ で $2$ 点 $X,Y$ の長さを表すとする．
2017/2/18
幾何
★★☆☆☆
３組の親子の川渡り
問 おおかみの親子，とらの親子，ライオンの親子が川の左岸にいる．左岸には船が一隻ある．この船を使って，$6$ 匹全員が右岸に移るためには，最小で何手必要だろうか．
ただし，以下のルールがある．
$1.$ 船に乗れるのは一度に一匹か二匹である．
$2.$ 誰も乗っていない船は動かない．
$3.$ どの動物も，親がいれば子供を守る．
$4.$ 守ってくれる自分の親がいないのに他の動物の親がいるときは，子供は食い殺されてしまう．
たとえば，最初におおかみの親ととらの親が船にのって右岸に出発すると，おおかみの子供もとらの子供も左岸でライオンの親に食い殺されてしまう．
2017/2/16
その他
★★★☆☆
ある正の整数についての会話
問 $500$ 以下の正の整数 $n$ について，$A,B,C,D$ の $4$ 人が以下のように話している:
$A$ 「$n$ は $2$ でちょうど $2$ 回だけ割り切れる．」
$B$ 「$n$ は $5$ でちょうど $2$ 回だけ割り切れる．」
$C$ 「$n$ は $7$ でちょうど $1$ 回だけ割り切れる．」
$D$ 「$n$ の各桁の数字の積は $20$ だ．」
このうち，$3$ 人の発言は正しいが，残りの $1$ 人の発言は誤りである．このとき $n$ を求めよ．
2017/2/6
整数
★☆☆☆☆
等差数列の公差
問 等差数列 $\{ a_{n} \}$ が，ある自然数 $N$ に対して， $$0 < a_1+a_2+\cdots+a_N < -a_{N+1}$$ を満たすならば, $a_1 > a_2 > a_3 >\cdots$ となることを示せ．
2016/11/8
代数
★☆☆☆☆
