$2021$ 個の碁石
問 白石 $1010$ 個と黒石 $1011$ 個の合わせて $2021$ 個の碁石が横一列に並んでいる．碁石がどのように並んでいても，次の条件を満たす黒石が少なくともひとつ存在することを示せ．
条件：その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて取り除くと，残りは白石と黒石が同数となる．ただし，碁石がひとつも残らない場合も同数とみなす．
2021/3/30
論理
★★★☆☆
$5$ つの島と橋と船
問 $5$ つの島がある．どの $2$ つの島についても，橋がかかっているか，船で行き来できるかのどちらか一方のみが成り立つ． このとき，橋または船のどちらか一方のみを用いて，どの島から別のどの島へもたどりつけることを示せ．
2021/3/26
組合せ
★★☆☆☆
正八角形の一部の面積
問 下図のような正八角形がある．全体の面積が $1$ のとき，色のついた部分の面積を求めよ．
2021/1/18
幾何
★☆☆☆☆
有理数の和の不等式の証明
問 以下の不等式が成り立つことを示せ． $$\frac{1^2}{1+2}+\frac{2^2}{2+3}+\frac{3^2}{3+4}+\cdots +\frac{2020^2}{2020+2021}\ge \frac{1}{2}(1+2+\cdots + 2021)-2021$$
2021/1/10
代数
★★★☆☆
5人の海賊
問 相異なる年齢の $5$ 人の海賊が $100$ 枚の金貨の宝を持っている．彼らは船の上で，以下の規則に従って，これらの金貨を分配することにした．
規則：最年長の海賊が金貨の分け方を提案し，(提案した海賊を含む) すべての海賊が賛成か反対かを投票する．半数以上の海賊が賛成した場合，金貨はその分け方で分ける．そうでない場合，分け方を提案した海賊は海に投げ出され，残りの海賊で，金貨の分け方が決定するまでこの規則を繰り返す．
海賊は血に飢えた傾向があるので，ある提案に賛成しても反対しても同数の金貨が得られるときは提案した海賊が海に投げ出される方を選ぶ．
$5$ 人の海賊全員が十分に論理的で，貪欲で，海に投げ飛ばされたくはないとき，最年長の海賊はどのような分け方を提案するだろうか．ただし，海賊同士は共謀しないとする．
2020/5/31
論理
★★★☆☆
正十一角形の $3$ 彩色
問 正十一角形の各頂点に赤，青，緑の $3$ 色を，どの色の頂点も奇数個となるように割り当てる．このとき，$3$ 頂点に割り当てられた色が相異なるような二等辺三角形が必ず存在することを示せ．
2020/5/30
組合せ
★★★☆☆
六角形の面積
問 下図において，三角形 $ABC$ は直角三角形であり，$AB=3, AC=4, BC=5$ である．また，四角形 $BDEC$, $ACFG$, $AHIB$ はすべて正方形である．このとき，六角形 $DEFGHI$ の面積を求めよ．
2020/4/30
幾何
★☆☆☆☆
下四桁の数の特定
問 $11^{100}$ の下四桁の数を求めよ．
2020/4/1
整数
★★☆☆☆
格子点の $2$ 色の割り当て
問 下図のように $3\times 7$ の格子がある．各格子点に赤または青の色を割り当てる．このとき，四隅が同色の長方形が必ず存在することを示せ．
2020/3/27
組合せ
★☆☆☆☆
積と和で表された関数方程式
問 $\mathbb{R}$ を実数全体の集合とする．次の条件 $(*)$ を満たす写像 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ をすべて求めよ．
条件 $(*)$ : 任意の $x,y \in \mathbb{R}$ に対して，$f(x)f(y)=f(x+y)+xy$ が成り立つ．
2019/8/5
代数
★☆☆☆☆
2つの分数がともに整数となるような正整数の組
問 次の $2$ つの分数がともに整数となるような，正の整数の組 $(x,y)$ をすべて求めよ． $$\frac{x^2+y}{y^2-x},\frac{y^2+x}{x^2-y}$$
2019/6/20
整数
★★☆☆☆
どの要素を取り除いても和がNとできる集合
問 $N$ を $200$ 以上の自然数，$X=\{1,2,...,N\}$ とする．次の条件 $(*)$ を満たす最小の $N$ を求めよ．
条件 $(*)$ ： $X$ からどの $100$ 個の要素を取り除いても，残りの集合から $100$ 個の要素を選んで和が $N$ となるようにできる．
2019/6/10
組合せ
★★★☆☆
二等辺三角形と二等分線
問 $AB=AC$ の二等辺三角形 $ABC$ があり，$\angle ABC$ の二等分線と辺 $AC$ との交点を $D$ とする．$AB+CD=BC$ であるとき，$\angle ABC$ は何度か．
2019/5/20
幾何
★☆☆☆☆
差の絶対値の和の不変性
問 $n$ を自然数とする．$2n$ 個の整数 $1,2,...,2n$ を $n$ 個ずつの数を含む $2$ つのグループに分ける．一つ目のグループは大きい順に並べて $$a_1>a_2>\cdots >a_n$$ とし，二つ目のグループは小さい順に並べて $$b_1< b_2< \cdots < b_n$$ とする．このとき，グループの分け方によらず， $$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots +|a_n-b_n|=n^2$$ が成り立つことを示せ．
2019/5/17
代数
★★☆☆☆
連続する自然数の和で表される数
問 $X$ を $2$ つ以上の連続する自然数の和で表される自然数全体の集合とする．$Y$ を $2$ のべき乗数でない自然数全体の集合とする．$X=Y$ であることを示せ．
2019/5/7
整数
★★☆☆☆
2つの集合の和で表される集合
問 $m$ を $2^{9}+1$ 以上の整数とする．$m$ 個の集合 $A_1,...,A_m$ を相異なる $\{1,2,...,10\}$ の空でない部分集合とする．このとき，$A_i \cup A_j=A_k$ を満たす相異なる整数 $i,j,k$ が存在することを示せ．
2019/2/27
組合せ
★★★☆☆
三角形と内部の点
問 下図のように，$△ABC$ の内部に点 $P$ をとり，$P$ を通り辺 $AB$ に平行な直線と，$CA,BC$ との交点をそれぞれ $D,E$，$P$ を通り辺 $BC$ に平行な直線と，$AB,CA$ との交点をそれぞれ $F,G$，$P$ を通り辺 $CA$ に平行な直線と，$BC,AB$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする．
$AB=c，BC=a，CA=b$ とする．$DE=FG=HI=d$ となるとき，$d$ を $a,b,c$ の式で表せ．
2018/12/6
幾何
★★☆☆☆
和と二乗和が定数の最大化問題
問 実数 $x,y,z,w$ が $$x+y+z+w=6$$ $$x^2+y^2+z^2+w^2=12$$ を満たすとき，$x$ の最大値を求めよ．
2018/10/31
代数
★★☆☆☆
黒板の2つの数を消し，その差を書く遊び
問 黒板に $1$ から $100$ までの整数がひとつずつ書かれている．黒板に書かれている $2$ つの数を消し，新たにその差を書く操作を考える．この操作を繰り返し行うと，最終的に黒板には $1$ つの非負整数のみが残る．操作を繰り返し行って，最終的に残った数を $1$ にすることは可能か．
2018/9/20
整数
★☆☆☆☆
要素数の等しい部分集合を適切に選ぶ
問 $S=\{1,2,3,...,98,99,100\}$ とする．集合 $S$ から要素数 $10$ の部分集合 $A$ をどのように選んだとしても，$A$ から互いに交わらない $2$ つの部分集合を適当に選んで，それらの要素の和が等しくできることを示せ．
2018/9/6
論理
★★☆☆☆
直角三角形にはめこまれた2つの正方形
問 直角三角形 $ABC$ に下図のように正方形 $X$，$Y$ を入れたとき，$X$ の面積は $361$，$Y$ の面積は $360$ であった．このとき，$△ABC$ の面積を求めよ．
2018/8/20
幾何
★★★☆☆
巡回三元連立方程式
問 $3$ つの実数 $x_1,x_2,x_3$ は，どのひとつを選んでもその数に残り $2$ つの積を足すと $-2$ になる．$(x_1,x_2,x_3)$ としてありうるものをすべて求めよ．
2018/8/10
代数
★★☆☆☆
円卓に座る場合の数
問 $n$ を $2$ 以上の自然数とする．円卓に $n$ 個の椅子が用意されていて，$n$ 人の人が順番に座る．各椅子には $n$ 人それぞれの名札が置いてある．はじめ，$A_1$ 氏は間違えて自分の席ではなく，(時計回りに)そのとなりの席に座ってしまった．ほかの人々は順に，自分の席に座るか，そこにすでにほかの人が座っていれば時計回りにその席に一番近い空いている席に座った．このようにして座るとき，異なる座り方は何通りあるか．
2018/7/11
組合せ
★★☆☆☆
$x^{2n}+y^{2n}$ が $x+y$ の倍数となる条件
問 $x,y$ を互いに素な自然数，$n$ を自然数とする．$x^{2n}+y^{2n}$ が $x+y$ の倍数となるような $(x,y)$ をすべて求めよ．
2018/7/8
整数
★★★☆☆
正整数の分割における得点の最大化
問 つぎのような遊びを考える．はじめに，正整数 $n$ がひとつ与えられる．$n$ を和が $n$ の二つの正整数 $k,n-k$ に分割し，得点 $k(n-k)$ を獲得する．つぎに，分割した $k,n-k$ それぞれに対し同様の操作を行い，同様に得点を獲得する．この操作を分割した結果すべてが $1$ になるまで繰り返したとき，獲得する総得点の最大値を求めよ．
たとえば $n=5$ のとき，下図のような分割をしたときに得られる総得点は $10$ 点である．
2018/6/9
その他
★★☆☆☆
3対3の対抗戦の勝敗
問 $\Sigma$ 高校の生徒 $A,B,C$ と $\Pi$ 高校の生徒 $X,Y,Z$ が $3$ 対 $3$ の総当たり戦を行ったところ，次のような結果になった．
・$3$ 試合すべてに勝った生徒はいなかった．
・$Y$ は $C$ に勝った．
・$B$ は $X$ に勝った．
・$A$ は $B$ が負けた相手には負けなかった．
・$B$ は $C$ が負けた相手には負けなかった．
・$C$ は $A$ が負けた相手には負けなかった．
このとき，$C$ が勝った相手をすべて求めよ．ただし，引き分けはないとする．
2018/4/23
論理
★★☆☆☆
あみだくじと横線の最小本数
問 下図のあみだくじを完成させるためには，最低何本の横線を引かなければならないか．
2018/4/12
その他
★☆☆☆☆
積が一定の互いに素な $3$ 数の組の個数
問 正の整数の組 $(a,b,c)$ であって，$a< b< c,abc=47!$ をみたし，かつ $a,b,c$ のどの $2$ つも互いに素であるようなものはいくつあるか．
2018/3/26
組合せ
★☆☆☆☆
分数和の不等式の証明
問 $n$ を正の整数とするとき，次の不等式を示せ． $$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3} <\frac{5}{4}$$
2018/3/22
代数
★★★☆☆
円に内接する八角形の面積
問 下図のように円に内接する八角形 $ABCDEFGH$ の面積を求めよ．
2018/3/15
幾何
★★☆☆☆
ある等式を満たす素数の不存在証明
問 どのような整数 $a,b$ に対しても，次の等式を満たす素数 $p$ は存在しないことを示せ． $$2p=a^4+b^4+(a+b)^4$$
2018/2/8
整数
★★☆☆☆
下位の桁よりも数字が大きい自然数の個数
問 つぎの $2$ 条件を満たす自然数はいくつあるか．
($1$) 各桁の数字が $1$ から $9$ のいずれかである．
($2$) どの桁の数字についても，それより下位の桁のどの数字よりも大きい．
たとえば，$2,961,6432$ などは条件を満たすが，$314,9032$ などは条件を満たさない．
2018/2/7
組合せ
★☆☆☆☆
どの実数もそれ以外の平均以下であるための条件
問 つぎの条件を満たす $n$ 個の実数の組 $(a_1,...,a_n)$ をすべて求めよ．
条件： どの実数 $a_i$ $(1\le i \le n)$ に対しても，$a_i$ は残りの実数の平均以下である．
2018/2/6
代数
★★☆☆☆
ドラゴン討伐の魔法の最小発動回数
問 ある山には $2018$ 匹のドラゴン $A_1,...,A_{2018}$ が棲んでいる．ドラゴン $A_i$ の首の本数は $i$ 本 ($1\le i \le 2018$) である．
ドラゴン討伐の依頼を受けたあなたは，魔法の剣を使って，この山のすべてのドラゴンの首を切り落とす使命が課せられた．魔法の剣はつぎの魔法を何度でも発動できる．
魔法： $1$ 匹以上のドラゴンを指定し，それらの首をそれぞれ $k$ 本切り落とす．
ただし，$k$ は $1\le k \le $ (指定したドラゴンのまだ切り落とされていない首の本数の最小値) の範囲で自由に選ぶことができる．
$2018$ 匹のドラゴンの首をすべて切り落とすための魔法の最小発動回数を求めよ．
2018/1/28
その他
★★★☆☆
直角三角形と内心
問 $\angle A=90°$ の直角三角形 $ABC$ がある．$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とする．点 $A$ を通り，点 $D$ で辺 $BC$ に接する円と辺 $AB$ との交点で $A$ と異なるものを $E$ とすると，直線 $AC$ と直線 $DE$ は点 $F$ で交わった．このとき，点 $D$ は $△ABF$ の内心であることを示せ．
2018/1/24
幾何
★★★☆☆
黒板に書かれた数を増やす遊び
問 黒板に整数 $1,2$ が書かれている．あなたは，次の操作で新しい数を黒板に書き足すことが許されている．
操作：黒板に整数 $a,b$ が書かれているならば $2ab+a+b$ を書くことができる．
この操作を何回か繰り返すことで，黒板に $15187$ を書くことはできるか.
2018/1/20
整数
★★★☆☆
$5$ つの領域の塗り分け
問 $10$ 種類の色を使って，下図の $5$ つの領域を塗り分ける．隣り合った領域には異なる色を用いるとき，塗り分け方は何通りあるか．ただし，回転や裏返しにより重なり合う塗り方も異なるものとして数える．
2018/1/18
組合せ
★★☆☆☆
数字を当てはめて式を最大化する
問 次の $5$ つの $\bigcirc$ に $1,2,3,4,5$ のいずれかをひとつずつ当てはめて，$S$ の値を最大にせよ． $$S=5\times \bigcirc +1\times \bigcirc +0\times \bigcirc +4\times \bigcirc +6\times \bigcirc$$
2018/1/8
代数
★★☆☆☆
特殊な作図装置による最短の作図時間
問 縦，横，斜め，どの方向でも秒速 $1cm$ で動けるペンを備えた作図装置がある．ペンが紙についていれば動きに従って線が描かれ，ペンが紙から離れていれば，何も描かれない．この装置で下の図形を描くのに最短で何秒かかるか．ただし，ペンを紙につけたり離したりするのに時間はかからないものとする．
2018/1/5
その他
★☆☆☆☆
$3$ 辺の長さが素数，面積が整数の三角形
問 $3$ 辺の長さが素数であり，面積が整数であるような三角形は存在するか．
2017/12/21
幾何
★★☆☆☆
切手を買った枚数を求める
問 $140$ 円切手，$280$ 円切手，$310$ 円切手をいくつか買ったところ合計代金が $4100$ 円となった．$310$ 円切手を買った枚数を求めよ．ただし，買っていない切手があってもよいとする．
2017/12/18
整数
★☆☆☆☆
ポリアの壺
問 $a,b,c,n$ を自然数とする．袋の中に $a$ 個の赤球と $b$ 個の青球が入っている．『袋の中から無造作に球をひとつ取り出して袋にもどし，取り出した球と同じ色の球を袋の中に $c$ 個追加する』という試行を繰り返す．$n$ 回目の試行で赤球を取り出す確率を求めよ．
2017/12/11
組合せ
★★★☆☆
二項演算子と方程式
問 任意の $0$ でない実数 $a,b,c$ に対して，二項演算子 $\star$ は次の $2$ 条件を満たす．
・$a \star a=1$
・$a \star (b\star c)=(a \star b)\times c$
ここで，$\times$ は通常の積を表す．
このとき，次の方程式を解け．
$$1\star (2 \star x)=1 \star x$$
2017/10/12
代数
★★☆☆☆
正方形と内部の点 $P$
問 下図のように，正方形 $ABCD$ の内部に点 $P$ があり，$BP=2，CP=4，DP=6$ を満たしている．このとき，$\angle BPC$ の値を求めよ．
2017/10/5
幾何
★★☆☆☆
立方数となるような式
問 $n$ を自然数とする． $$n!+2$$ が立方数となるような $n$ をすべて求めよ．
2017/10/4
整数
★☆☆☆☆
同じ色の玉が $3$ つ以上連続しない並べ方
問 赤球と青球をそれぞれ $5$ つずつ一列に並べるとき，同じ色の球が $3$ つ以上連続しない並べ方は何通りあるか．
2017/9/21
組合せ
★★☆☆☆
$5$ で割り切れる多項式
問 $x,y,z$ を整数とする．このとき， $$(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5$$ はつねに $5$ の倍数であることを示せ．
2017/9/5
代数
★★☆☆☆
対角線のなす角度の和
問 下図は，正方形を $3$ つ並べてできた図形である．$\alpha+\beta$ は何度か．
2017/5/21
幾何
★☆☆☆☆
制約条件のある分数式の値
問 実数 $x$ が $x^2-x-1=0$ を満たすとき， $$\frac{x^{32}-1}{2x^{17}-x^{16}}$$ の値を求めよ．
2017/4/24
代数
★★☆☆☆
交差しないマッチングの組み合わせ
問 円周上に相異なる $10$ 個の点がある．これらの点と点を次の $2$ つの条件を満たすように線分で結ぶ方法は何通りあるか．
$1:$ どの点もちょうどひとつの線分の端点になっている．
$2:$ どの線分も交差しない．
たとえば，下図は上の $2$ つの条件を満たすもののひとつである．
2017/4/6
組合せ
★★☆☆☆
2つの長方形の面積の大小
問 次の二つの図において，赤色の長方形の面積と，２つの青色の長方形の面積の和はどちらが大きいか．
ただし，赤色の長方形は大きな長方形に接しており，２つの青色の長方形は，赤色の長方形の接点を通る２つの直線によってつくられている．
2017/4/5
幾何
★★☆☆☆
