2022-08

素数が無限に存在すること証明を $3$ 通り紹介します． ・背理法 ・数学的帰納法 ・ $n$ と $n+1$ は互いに素 ・ $1$ 以上の整数は必ずひとつ以上の素因数をもつ 素数とは，$1$ より大きく，$1$ と自分自身以外に約数を...

この記事では，約数といえば正の約数を意味することとします． たとえば，$12$ の約数は $1,2,3,4,6,12$ で合計 $6$ つあります．一方，$13$ の約数は $1,13$ で合計 $2$ つです．一般の自然数について，その約...

直角三角形 $ABC$ があり，$\triangle ABC$ の各辺と辺を共有するように $3$ つの正方形が接しています．このとき，六角形 $DEFGHI$ (下図の赤い部分)の面積を求めるのが問題です． 一見，簡単そうですが，きれ...

Five Pirates と呼ばれる古典的で有名な論理パズルの問題です．調べればすぐ解説記事が出てきます． 問題の意味を詳しく説明しましょう．船の上に $5$ 人の海賊がいます．便宜上，これらの海賊の年齢は全て異なるとしておきます．たとえ...

・ 等比級数の和の公式 $$1+r+r^2+\cdots=\frac{1}{1-r}　　(0 \le r < 1)$$ ・ 対数関数の性質 $$\log ab=\log a+\log b，\log \frac{1}{a}=-\log...

1次不定方程式 $ax+by=1$ の整数解を求める方法を紹介します． $x, y$ に関する $2$ 元 $1$ 次不定方程式 $ax+by=1$ の整数解を求めます．ここで，$a,b$ はともに整数であるとします．たとえば， $$3x+...

$11^{100}$ は $11$ を $100$ 回かけた数のことです．これはとんでもなく大きな数になるわけですが，その数の下四桁だけを求めるのが問題です．下四桁とは十進法で表記したときのうしろから４つの数のことを指しています．たとえば...

二つの無理数によって，自然数全体は二つに分割されるという，とても不思議できれいな定理を紹介します． レイリーの定理とは，二つの無理数が自然数全体を二つに分割するという一風変わった定理です． レイリーの定理：$\frac{1}{r}+\fra...