2021-05

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ド・モルガンの法則|思考力を鍛える数学

集合に関する基本的な定理である,ド・モルガンの法則について解説します. 一般に集合について考えるとき,$1$ つの集合 $X$ を決めて (ひとつ固定しておいて),その部分集合について議論することが多いです.この $X$ を全体集合と呼びま...
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九点円の定理|思考力を鍛える数学

九点円の定理とは,三角形と円に関する非常に美しい定理です.受験等に役立つことはほとんどないと思いますが,この定理の美しさを鑑賞する価値は十分あります.ぜひ,秩序だった様を存分に味わってください. 九点円の定理: $△ABC$ について,以下...
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要素数の等しい部分集合を適切に選ぶ|思考力を鍛える数学

ホーム >> 論理 >> 要素数の等しい部分集合を適切に選ぶ $1$ 以上 $100$ 以下の整数からなる要素数 $100$ の集合 $S$ が与えられています.この集合 $S$ から $10$ 個の数を任意に選びま...
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1/6公式の使い方|思考力を鍛える数学

$\frac{1}{6}$ 公式とは,ある条件のもとで,2次関数の積分計算を高速に行うための公式です.$\frac{1}{6}$ 公式を使えば,面倒な積分計算をスキップして,すばやく答えを導くことができます.さらに,この公式が使える場面は(...
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どの要素を取り除いても和がNとできる集合|思考力を鍛える数学

組合せの問題です.$200$ 以上の自然数 $N$ と $1$ から連続する $N$ 個の自然数の集合 $X$ を考えます.以下の条件 $(*)$ を満たす最小の自然数 $N$ を求める問題です. 条件 $(*)$ : $X$ からどのよ...
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原始多項式の定義と性質|思考力を鍛える数学

この記事の内容は本来は大学で学ぶものですが,高校数学までの知識で理解できます.原始多項式の定義と基本的な性質を紹介します. 原始多項式: 整数係数多項式 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$ は, $a_0,a_1,...
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正整数の分割における得点の最大化|思考力を鍛える数学

与えられた正整数を,和が一定の二つの正整数に分割する操作を行い,分割後の二つの数の積を得点として獲得します.各分割のしかたは和が一定の正整数であれば,どんな $2$ つの数に分割してもよいです.さて,分割のしかたはいろいろ考えられますが,...
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円卓に座る場合の数|思考力を鍛える数学

$A_1,...,A_n$ の $n$ 人の人たちが円卓に座ります.一般性を失うことなく,時計回りに $1,2,...,n$ と番号を割り振って,$i$ 番目の席に,$A_i$ の名札が置いてあるとして構いません.はじめ,$A_1$ は間...
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三角関数の合成|思考力を鍛える数学

三角関数の合成: $a,b$ を実数とする.このとき,次が成り立つ. $$\large a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)$$ ただし,$\alpha$ ...
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角の二等分線の性質と二等分線の長さ|思考力を鍛える数学

三角形の内角・外角の二等分線の性質は,中学数学で習う基本的で重要な性質です.それらの主張とその証明を紹介します.さらに,後半では発展的内容として,角の二等分線の長さについても紹介します. 三角形のひとつの角の二等分線が与えられたとき,次の基...
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