ホーム >> 整数 >> 下四桁の数の特定
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問題の説明

$11^{100}$ は $11$ を $100$ 回かけた数のことです.これはとんでもなく大きな数になるわけですが,その数の下四桁だけを求めるのが問題です.下四桁とは十進法で表記したときのうしろから4つの数のことを指しています.たとえば,$214641$ の下四桁の数は $4641$ です.

さて,当然 $11^{100}$ が直接求められれば何も問題はないのですが,この計算を実行するのは非常に大変です.では,どのようにすれば直接計算をすることなく下四桁の情報だけを知ることができるでしょうか.

ヒント・考え方

$11^{100}$ の下四桁だけ知りたいということは,言い換えると $11^{100}$ を $10000$ で割ったあまりを求めればよいということです. つまり,$0$ 以上 $10000$ 未満の整数 $r$ を用いて $11^{100}=(10000~\text{の倍数})+r$ と書いたときの $r$ が求めるべき答えになります.

解答例

二項定理より, $$11^{100}=(10+1)^{100}=\sum_{i=0}^{100} {}_{100} \mathrm{C} _i \cdot 10^{i}\cdot 1^{100-i}$$ が成り立ちます.ここで,$1$ は何乗しても $1$ なので, $$\sum_{i=0}^{100} {}_{100} \mathrm{C} _i \cdot 10^{i}\cdot 1^{100-i}=\sum_{i=0}^{100} {}_{100} \mathrm{C} _i \cdot 10^{i}$$ となります.ここで,和の最初の $4$ 項だけ書き下すと, $$=1+{}_{100} \mathrm{C} _1\cdot 10 + {}_{100} \mathrm{C} _2 \cdot 100+{}_{100} \mathrm{C} _3 \cdot 1000+\color{red}{\underline{\color{black}{\sum_{i=4}^{100} {}_{100} \mathrm{C} _i \cdot 10^{i}}}}$$ となります.このとき,赤線部分の各項は $10000$ の倍数なので,赤線部分全体も $10000$ の倍数です.したがって,最初の $4$ 項の和のみ考慮すればよいです. $$1+{}_{100} \mathrm{C} _1\cdot 10 + {}_{100} \mathrm{C} _2 \cdot 100+{}_{100} \mathrm{C} _3 \cdot 1000=1+100\cdot 10+\frac{100\cdot 99}{2!}\cdot 100+\frac{100\cdot 99 \cdot 98}{3!}\cdot 1000$$ となりますが,$\frac{100\cdot 99 \cdot 98}{3!}\cdot 1000=1617\cdot 100000$ なので,これは $10000$ の倍数です.したがって,結局最初の $3$ 項のみ考慮すればよく,その和は, $$1+1000+495000=496001$$ です. したがって,求める答えは $\fbox{6001}$ です.