ホーム >> 幾何 >> 円に内接する八角形の面積
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問題の説明

$AB=BC=AH=HG=2,CD=DE=EF=FG=1$ であるような八角形 $ABCDEFGH$ が円に内接しています.この八角形の面積を求める問題です.

中学数学の知識のみで解くことが可能ですが,それなりの工夫は必要です.

ヒント

がんばって直接求めることもできますが,ここでは,それなりにエレガントな方法を紹介します.実はこの問題は,並び替え を用いることによって鮮やかに解くことができます.

図形はばらばらに分割して,並び替えてくっつけてもその面積は変わらないという性質があります.そこで,元の図形をもっと面積が求めやすいような,扱いやすい図形に変形してみることを考えてみてください.

解答例

円の中心を $O$ とします.下図のように八角形を $8$ つの二等辺三角形に分割します.すると,$8$ つの二等辺三角形は,底辺が $1$ であるものが $4$ つ,底辺が $2$ であるものが $4$ つで,二種類に分かれます.
円に内接する8角形
この $8$ つの三角形をつぎのように,底辺が $1$ の二等辺三角形と底辺が $2$ の二等辺三角形が交互にくるように並べ替えます.
円に内接する8角形
並び替えても面積は変わらないので, $$(八角形 ABCDEFGH の面積)=(八角形 A'B'C'D'E'F'G'H' の面積)$$ です. そこで,下図のように,線分 $A'B',C'D',E'F',G'H'$ を延長し,その交点を $X,Y,Z,W$ とします.
円に内接する8角形
すると,四角形 $X,Y,Z,W$ は正方形になります!なぜなら,八角形の内角の総和は $\frac{180°\times (8-2)}{8}=1080°$ であり,対称性より八角形 $A'B'C'D'E'F'G'H' $ の内角は全て等しいので,内角はすべて $135°$ です. したがって,$△XA'H',△YB'C',△ZD'E',△WF'G'$ はすべて直角二等辺三角形です.ゆえに四角形 $X,Y,Z,W$ は正方形となるのです.
$$(八角形 A'B'C'D'E'F'G'H' の面積)=(正方形 XYZW の面積)ー4\times (直角二等辺三角形 XA'H' の面積)$$ なので, $$(八角形 A'B'C'D'E'F'G'H' の面積)=(1+2\sqrt{2})^2-4\times \frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}$$ $$=5+4\sqrt{2}$$ よって,$(八角形 ABCDEFGH の面積)=5+4\sqrt{2}$ です.