Uncategorized フェルマーの小定理の証明|思考力を鍛える数学
合同式の重要な定理である，フェルマーの小定理について解説します．
フェルマーの小定理: $p$ を素数，$a$ を $p$ と互いに素な整数とするとき，以下の等式が成り立つ． $$\large a^{p-1} \equiv 1 (mod\...
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Uncategorized 幾何|思考力を鍛える数学
問 下図のような正八角形がある．全体の面積が $1$ のとき，色のついた部分の面積を求めよ．
2021/1/18 幾何 ★☆☆☆☆
問 下図のように円に内接する八角形 $ABCDEFGH$ の面積を求めよ．
2018/3...
Uncategorized 整数|思考力を鍛える数学
問 ふたつの素数 $p,q$ が $p+q=90$ をみたすとき，積 $pq$ としてありうる最大値を求めよ．
2021/1/17 整数 ★☆☆☆☆
問 $11^{100}$ の下四桁の数を求めよ．
2020/4/1 整数...
Uncategorized その他|思考力を鍛える数学
問 下図のあみだくじを完成させるためには，最低何本の横線を引かなければならないか．
2018/4/12 その他 ★☆☆☆☆
Uncategorized 代数|思考力を鍛える数学
問 $n$を正の整数とする． $$n^{2n-1} \ge (2n-1)!$$ が成り立つことを示せ．
2016/3/26 代数 ★★☆☆☆
問 $x$を実数とする．次の方程式を解け． $$\sqrt{6-x}+\sqrt{x+...
Uncategorized 三角関数の積と和の公式|思考力を鍛える数学
三角関数の積和・和積公式とその導出を紹介し，最後に積和公式の図形的な説明の一例を解説します．
三角関数の積和・和積公式は，三角関数の積を和に，和を積に変換する公式です．これらの公式は三角関数の加法定理から導かれます． 加法定理や，倍角，半角...
Uncategorized 重複組合せの考え方|思考力を鍛える数学
異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を取り出す組合せの総数は ${}_n \mathrm{C}_r$ でした．(→組合せの基礎) では，異なる $n$ 個のものから，重複を許して $r$ 個取り出す組合せの総数はいくつになるでしょ...
Uncategorized 合同式の基礎・基本|思考力を鍛える数学
整数問題 (特に剰余に関わる問題) で絶大な威力を発揮する合同式の基礎事項について解説します．
整数問題の中でも特によく出題されるのが剰余に関わる問題です．剰余とは余りのことで，たとえば，『$2^{40}$ を $7$ で割った余りを求めよ...
Uncategorized ある正の整数についての会話|思考力を鍛える数学
整数と，論理を複合した問題です．$A,B,C,D$ の発言のうち，ひとりだけ誤りの主張をしているのが厄介です．
ヒント
誰が誤りの主張をしているのかはすぐにわからなくても，少なくとも誰が本当の主張をしているのかはすぐにわかります．その主張...
Uncategorized 整数係数多項式の一般論|思考力を鍛える数学
$f(x)$ は整数係数多項式なので，すべての整数 $m$ に対して，$f(m)$ は整数になります．つまり，$f(m+f(m))$ も，$f(m)$ も整数です．一般に，整数 $a$ が，整数 $b$ の倍数であるとは，ある整数 $k$...