ホーム >> 幾何 >> $3$ 辺の長さが素数,面積が整数の三角形
hide or visible

問題の説明

整数と三角形に関する問題です.問題自体はシンプルですが,糸口がパッと思いつくかどうかで差がつきそうです.

ヒント

問題では,三角形の $3$ 辺と面積に関する情報のみが関わっています.ヘロンの公式を思いつけるかどうかが勝負の分かれ目でしょう.
ヘロンの公式をご存知ない方は下の記事を参考にしてください.
→ヘロンの公式

解説

三角形の $3$ 辺を $a,b,c$,面積を $S$ とおく.ヘロンの公式より, $$(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=16S^2$$ が成り立ちます.ここで,偶奇に着目してみましょう.$a,b,c$ の偶奇がどうであれ,左辺の $4$ 項はすべて偶数かすべて奇数のいずれかです.右辺は偶数なので,左辺の $4$ 項はすべて偶数です.左辺の $4$ 項がすべて偶数になるのは次の $2$ パターンのいずれかです.
$(i)$ $a,b,c$ がすべて偶数
$(ii)$ $a,b,c$ のうち,ひとつが偶数で残りのふたつが奇数

$(i)$ のとき
$a,b,c$ はすべて素数なので,$a=b=c=2$ ですが,このとき,$S=\sqrt{3}$ となり,これは整数でないので不適です.

$(ii)$ のとき
一般性を失うことなく,$a=2$, $b,c$ が奇数と仮定してよいです.
このとき,$|b-c|\ge 2$ なので, $$(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \le 0$$ となります (具体的には,最初の $2$ 項は常に非負で,あとの $2$ 項はどちらか一方が非負,もう一方が非正となる).
ゆえにこの場合も不適です.

以上より,問題の条件を満たすような三角形は存在しません.