ホーム >> 整数 >> 2つの整数がともに素数となる条件
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問題の説明

素数とは,$1$ と自分自身以外に約数をもたない整数のことです.
自然数 $n$ をひとつ定めると,$2^n-1,2^n+1$ はともに整数となりますが,このとき,$2^n-1,2^n+1$ がともに素数となるような $n$ をすべて求めるのが今回の問題です.

ヒント

まずは $n$ が小さい自然数のときを考えてみましょう.

$n=1$ のとき

$2^1-1=1,2^1+1=3$ となりますが,$1$ は素数ではないのでこれは不適です.

$n=2$ のとき

$2^2-1=3,2^2+1=5$ となり,どちらも素数なので,これは問題の条件を満たします.

$n=3$ のとき

$2^3-1=7,2^3+1=9$ となりますが,$9$ は素数ではないのでこれは不適です.

さて,一般の $n$ のときはどうなるでしょうか.
以下,$2$ 通りの考え方を解説します.

連続する整数の性質を用いる方法

$2^n-1,2^n,2^n+1$ は連続する $3$ つの整数です.

そして,連続する $3$ つの整数のうち,どれか一つは必ず $3$ の倍数になります.

ところが,どの $n$ についても $2^n$ が $3$ の倍数になることはありません.
したがって,$2^n-1$ もしくは $2^n+1$ の少なくともどちらかは必ず $3$ の倍数になります.
このことから,$n \ge 3$ のときは,問題の条件を満たさないことがわかります.

合同式を用いる方法

$mod 3$ で考えてみましょう.
\begin{equation} 2^n-1 \equiv (-1)^n-1 \equiv \left\{ \begin{array}{l} 0 (n\text{が偶数})\\ 1 (n\text{が奇数}) \end{array} \right. \end{equation} また, \begin{equation} 2^n+1 \equiv (-1)^n+1 \equiv \left\{ \begin{array}{l} 2 (n\text{が偶数})\\ 0 (n\text{が奇数}) \end{array} \right. \end{equation} これらより,$n$ がどのような整数であろうとも,$2^n-1,2^n+1$ のどちらかは必ず $3$ の倍数になります.したがって, $n \ge 3$ のときは,問題の条件を満たさないことがわかります.

答え

$n=2$ のときに限ります.