対角線のなす角度の和

問題の説明

三角関数を知っていれば，すぐに解けてしまう問題です．
しかし，純粋に図形的に解こうとしてみると，意外とすぐには思いつかないのではないでしょうか．パズルだと思って解いてみてください．

図形的な解法

図形的に解くといってもいろいろな解法が考えられると思いますが，ここでは，円周角の定理を用いる解法を紹介します．

下図のような四角形を考えると，仮定から，$\angle ADB=\alpha，\angle ACB=\alpha，\angle ACD=\beta$ です．

$\angle ADB=\angle ACB=\alpha$ なので，円周角の定理の逆より，四角形 $ABCD$ は円に内接します．したがって，円周角の定理より， $$\angle ABD=\angle ACD=\beta$$
最後に，$△ABD$ に注目すると，

外角と内角の関係から， $$\boxed{\alpha+\beta=45°}$$ が答えとなります．

三角関数による解法

三角関数を使えば，何も考えることなく解けてしまいます．

図より，$\tan \alpha=\frac{1}{2}，\tan \beta=\frac{1}{3}$ です．タンジェントの加法定理を用いると， $$\tan{(\alpha+\beta})=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}=1$$ 図から，$0<\alpha+\beta< 90°$ なので， $$\boxed{\alpha+\beta=45°}$$ が答えとなります．

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