2021-09

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二重根号の外し方|思考力を鍛える数学

二重根号とは,根号のなかに根号がある式のことを言います. たとえば, $$\sqrt{5+2\sqrt{6}} \sqrt{4+\sqrt{3}}$$ などが二重根号です. これらの式の中には,二重根号がはずれて,より簡単な式になるものがあ...
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3点が正三角形の頂点となるための条件|思考力を鍛える数学

複素数平面上で $3$ 点が正三角形の頂点となるための条件を紹介します. 複素数平面上の $3$ 点 $P(z_1),Q(z_2),R(z_3)$ が正三角形の頂点となるための必要十分条件は, $$\large (z_1-z_2)^2+(z...
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内分点と外分点の求め方|思考力を鍛える数学

2点を内分する点,外分する点の座標の求め方を解説します. 直線上や,平面上,空間上で相異なる $2$ 点が与えられた時,それらを内分する点や外分する点を考えることができます. たとえば,線分ABを $2:1$ に内分する点とは,線分 $AB...
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絶対値の意味と注意点|思考力を鍛える数学

絶対値の基礎事項と間違えやすい箇所について解説します. 絶対値とは,数の大きさを表すための概念です. 実数 $x$ の絶対値 $|x|$とは, \begin{eqnarray} |x|=  \begin{cases} x &(x \...
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漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ の解き方|思考力を鍛える数学

漸化式を解く問題の中で,最も基礎的なタイプである $a_{n+1}=pa_n+q$ 型の解き方を3つ紹介します. 初項 $a$ と漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ によって定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項の求め方を考えてみま...
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チェバの定理とその逆|思考力を鍛える数学

ホーム >> 平面図形 >> チェバの定理とその逆 2017/4/11 平面図形 三角形の頂点を通る $3$ 直線が $1$ 点で交わるとき,次のチェバの定理が成り立ちます. チェバの定理: $△ABC$ の頂...
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差の形で和が打ち消し合ういろいろな数列|思考力を鍛える数学

ホーム >> 数列 >> 差の形で和が打ち消し合ういろいろな数列 2016/6/23 数列 数列の和を求める際,それぞれの項 $a_n$ が $b_n-b_{n+1}$ のように差の形になって,隣り合う項が打ち...
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2直線の平行と垂直条件|思考力を鍛える数学

2直線の平行・垂直条件の公式を解説します.特に,垂直条件は基本的で重要です. $2$ 直線 $y=m_1x+n_1,y=m_2x+n_2$ について,考えてみましょう.$2$ 直線は,平行ならばその傾きは等しく,逆に傾きが等しいときは平行で...
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ド・モアブルの定理の証明と意味|思考力を鍛える数学

複素数の世界の美しい等式ド・モアブルの定理の意味を解説します. ド・モアブルの定理とは,複素数の世界で成り立つ以下の等式のことです.$i$ は当然,虚数単位です. ド・モアブルの定理: $n$ を整数とする.次の等式が成り立つ. $$(\c...
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チェビシェフの不等式|思考力を鍛える数学

チェビシェフの不等式について解説します.確率論でもチェビシェフの不等式という名前のものがありますが,今回紹介するものとは別のものです. チェビシェフの不等式: 実数 $a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_...
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