複素数の世界の美しい等式ド・モアブルの定理の意味を解説します．
ド・モアブルの定理とは，複素数の世界で成り立つ以下の等式のことです．$i$ は当然，虚数単位です．
ド・モアブルの定理: $n$ を整数とする．次の等式が成り立つ． $$(\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos n\theta +i \sin n\theta$$
左辺は絶対値が $1$ の複素数の整数乗です．$n$ は整数であれば，正でも $0$ でも，負でも成り立ちます．この定理を用いれば，複素数の整数乗を簡単に求めることができます．
たとえば， $$\left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^4$$ を計算するとき，単純に掛け算をしようとすると，$4$ 乗の計算が面倒です．ところが，ド・モアブルの定理を用いると， $$\left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^4=\left(\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}\right)^4$$ $$=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$$ というように，$4$ 乗の計算を回避して，簡単に求めることができます．このように，ド・モアブルの定理によって，面倒な積の計算を回避できるのです．
証明は数学的帰納法を用いるのが一般的です．途中で，三角関数の加法定理を用いています．以下の証明では，まず，$n$ が負でない整数の場合を示し，その後，$n$ が負の整数の場合を示しています．$n$ が負の整数の場合を示すときに，$n$ が負でない整数のときの結果を利用しています．
証明: まず，$n$ が負でない整数のときについて，数学的帰納法で示す． $n=0$ のとき，(左辺)=(右辺)=$1$ となるので，等式は成立する． $n=k$ のとき，$(\cos \theta+i \sin \theta)^k=\cos k\theta +i \sin k\theta$ が成り立つと仮定する．
このとき， $$(\cos \theta+i \sin \theta)^{k+1}=(\cos \theta+i \sin \theta)^k(\cos \theta+i \sin \theta)$$ 帰納法の仮定より， $$=(\cos k\theta +i \sin k\theta)(\cos \theta+i \sin \theta)=(\cos k\theta \cos \theta-\sin k\theta\sin \theta)+$$ $$i(\cos k\theta \sin \theta+\sin k\theta \cos \theta)$$ 加法定理より， $$=\cos (k+1)\theta+i\sin (k+1)\theta$$ よって， $$(\cos \theta+i \sin \theta)^{k+1}=\cos (k+1)\theta +i \sin (k+1)\theta$$ が成り立つので，帰納法からすべての負でない整数 $n$ について， $$(\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos n\theta +i \sin n\theta$$ が成り立つ．
次に，$n$ が負の整数のときについて，等式が成り立つことを示す．$n < 0$ より，$n=-m$ とおくと，$m > 0$ であり， $$(\cos \theta+i \sin \theta)^n=(\cos \theta+i \sin \theta)^{-m}=\{(\cos \theta+i \sin \theta)^m \}^{-1}$$ $$=(\cos m\theta +i \sin m\theta)^{-1}=\frac{1}{\cos m\theta +i \sin m\theta}$$ $$=\cos m\theta -i \sin m\theta=\cos (-n)\theta -i \sin (-n)\theta=\cos n\theta+i \sin n\theta$$ となる．したがって，$n$ が負の整数のときも等式が成り立つ．
以上より，すべての整数 $n$ について， $$(\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos n\theta +i \sin n\theta$$ が成り立つことが示せた．
複素数平面を考えれば，ド・モアブルの定理に幾何学的な解釈を与えることができます．
まず，複素数 $z=\cos \theta+i\sin \theta$ というのは，複素数平面上で，単位円上にある点です．この複素数 $z$ を整数乗した $z^n$ というのは，複素数平面上でどのような位置に存在するのでしょうか．ド・モアブルの定理はこの問に明確な答えを与えてくれます． $$(\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos n\theta +i \sin n\theta$$ なので，$z^n=\cos n\theta +i \sin n\theta$ です．この右辺は，単位円上にあり偏角が $n\theta$ である複素数を表しています．したがって，$z^n$ は次の図のような位置にあるのです．
つまり，単位円上にある複素数を整数乗するということは，反時計回りに偏角分回転させていくということなのです．
