2021-09

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平方完成のやり方|思考力を鍛える数学

平方完成とは,$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c$ を式変形して,$a(x+p)^2+q$ という形にすることです.たとえば,$2$ 次方程式 $x^2+4x+1$ を平方完成すると,$(x+2)^2-3$ となり,$-2x^2+3x-...
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並べ替え不等式|思考力を鍛える数学

並べ替え不等式とは,$2n$ 個の実数 $x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_n$ に対する次の不等式のことです. 並べ替え不等式: $x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_n,y_1\g...
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二項係数のいろいろな公式|思考力を鍛える数学

二項係数について成り立ついろいろな公式について,その意味合いとともに紹介します. 二項係数 ${}_n \mathrm{C} _k$ とは,$n$ 個のものの中から,$k$ 個のものを順序を考慮せず選ぶ選び方の総数です.ここで,自然数 $k...
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円と直線の位置関係|思考力を鍛える数学

円と直線の位置関係を,それぞれの式を利用して判断する方法を $2$ 通り紹介します. 平面上に円と直線が位置しているとき,これらふたつの位置関係は次の $3$ パターンあります. どのような条件が成り立つとき,どのパターンになるのでしょう...
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円の方程式の表し方|思考力を鍛える数学

座標平面上で,円の方程式はどのようにして表せるでしょうか. まず,原点から距離 $r (r>0)$ の位置にある点 $P(x,y)$ を考えます. このような点 $P$ の全体 (つまり,原点から距離 $r$ の位置にある点を無数...
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メネラウスの定理とその覚え方|思考力を鍛える数学

メネラウスの定理とは,三角形と,その頂点を通らないひとつの直線があるときに成り立つ線分の比に関する定理です.証明は平行線と比の定理を $2$ 回用いることにより示せます. メネラウスの定理: $△ABC$ の辺 $BC,CA,AB$ または...
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接弦定理と接弦定理の逆|思考力を鍛える数学

接弦定理: 円 $O$ の弦 $AB$ と,点 $A$ における接線 $AT$ とのなす角 $\angle BAT$ は,その角の内部に含まれる弧 $AB$ に対する円周角 $\angle ACB$ に等しい. 一般に,円 $O$ とその...
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コーシー・シュワルツの不等式|思考力を鍛える数学

相加相乗平均の不等式の次にメジャーな不等式であるコーシー・シュワルツの不等式の証明と典型的な例題を紹介します. コーシー・シュワルツの不等式: 実数 $a_1,a_2,\cdots,a_n, b_1,b_2,\cdots,b_n$ について...
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よく使う因数分解・展開の公式まとめ|思考力を鍛える数学

数式処理の基本である因数分解と展開の公式をまとめました. 以下は絶対に覚えておくべき基本的な因数分解・展開公式です. がんばって暗記するようなものではなく,ふつうに数学をしていると,あまりに使う頻度が多すぎて自然と身に付いてしまう類のもので...
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累乗の和の公式|思考力を鍛える数学

累乗の和の公式: $$\large \sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)$$ $$\large \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$ $$\large \sum_{...
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