Uncategorized

制約条件のついた数え上げの問題です．単に，赤球と青球を $5$ つずつ一列に並べるだけなら，その並べ方は ${}_{10} \mathrm{C} _5=252$ 通りあります．ところが，同じ色の球が $3$ つ以上連続しないという制約条件...

平面上の $3$ 点が同一直線上にあるための条件を複素数を用いて表します． 複素数平面上で，$3$ 点が同一直線上にあるための条件はつぎのように簡潔に表すことができます．ここでは，状況を簡単にするために $3$ 点は相異なるとしておきます．...

素数とは，$1$ と自分自身以外に約数をもたない整数のことです． 自然数 $n$ をひとつ定めると，$2^n-1，2^n+1$ はともに整数となりますが，このとき，$2^n-1，2^n+1$ がともに素数となるような $n$ をすべて求め...

組合せ分野の，標準的な塗り分け問題です．この手の問題は一度は解いたことがあるのではないでしょうか． 考え方・ヒント まず簡単にわかることは，領域は $5$ つなので使う色の種類は $5$ 色以下です．さらに $3$ 色以上必要であることも...

直角三角形 $ABC$ からいろいろ線をひいてできる点 $D$ が，ある三角形の内心になっていることを証明する問題です．三角形の各頂角の二等分線は一点で交わり，その交点を三角形の内心といいます．問に従って図を描くと，たとえば下のようになり...

異なるいくつかのものを円形に並べる順列の個数について考察します． 人やものを円形に並べる順列を円順列といいます．円順列では，適当に回転して並び方が一致するものは，同じ順列であると考えます． たとえば，$A,B,C$ の $3$ 人が円形に並...

ここでいう平均とは，相加平均のことを指します．たとえば，$n=3$ のとき，$(-1,2,5)$ という $3$ つの実数の組を考えると， $$-1\le \frac{2+5}{2}=3.5$$ $$2 \le \frac{-1+5}{2...

たとえば，$(a,b)=(1,1)$ のとき，(右辺)$=18$ となるので，$p=9$ となり，これは素数ではありません．$(a,b)=(2,0)$ のとき，(右辺)$=32$ となるので，$p=16$ となり，これは素数ではありません...

条件 $1$ は要するに，$10$ 個の相異なる点を $2$ 点ずつペアにして，合計 $5$ 組のペアをつくるということです． 条件 $1$ だけであれば，ペアの作り方は，${}_{10} \mathrm{C} _2\times {}_{...