たとえば，$(a,b)=(1,1)$ のとき，(右辺)$=18$ となるので，$p=9$ となり，これは素数ではありません．$(a,b)=(2,0)$ のとき，(右辺)$=32$ となるので，$p=16$ となり，これは素数ではありません．
どのような整数 $a,b$ を選んだとしても，$\frac{a^4+b^4+(a+b)^4}{2}$ が素数にならないことを示せばよいです．素数にならないということは，$1$ または合成数になるということです．したがって，式変形によって合成数をつくろうとする方針が素直です．右辺を因数分解できないか考えてみましょう．
解説
$$a^4+b^4+(a+b)^4=2(a^4+b^4+2a^3b+2ab^3+3a^2b^2)$$ $$=2\{(a^2+b^2)^2+ab(a^2+b^2)+a^2b^2\}$$ $$=2(a^2+b^2+ab)^2$$ したがって，もとの等式は $$p=(a^2+b^2+ab)^2$$ となります．$a,b$ は整数なので，$(a^2+b^2+ab)^2$ は平方数で，素数にはなりえません．したがって，与えられた等式を満たす素数 $p$ は存在しません．
