制約条件のついた数え上げの問題です．単に，赤球と青球を $5$ つずつ一列に並べるだけなら，その並べ方は ${}_{10} \mathrm{C} _5=252$ 通りあります．ところが，同じ色の球が $3$ つ以上連続しないという制約条件がついています．
きれいにスパッと解く方法はおそらくないと思うので，いかに重複や漏れがないように (そして要領よく) 数え上げるかがポイントです．
考え方のヒント
連続する同色の球をひとつのかたまり (ブロック) として見てみましょう．たとえば，問題文中の図では，赤球は $(1,2,1,1)$ の $4$ つのブロックに分かれています．青球は $(1,1,2,1)$ の $4$ つのブロックに分かれています．
ブロックの数について，何か言えることはないでしょうか．あるいは，赤球のブロックの数と青球のブロックの数の関係について，何か言えることはないでしょうか．
解答
赤球のブロックの個数を $n$，青球のブロックの個数を $m$ とします． このとき条件から，次の二つが成り立ちます． $$3 \le n \le 5，3 \le m \le 5$$ $$|n-m| \le 1$$ よって，$n,m$ のとりうる組は $(n,m)=(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)$ の $7$ 通りです．このそれぞれの場合について，球の並べ方を考えればよいです． まず，ブロックの個数に応じて並べ方を考えます．
(1) ブロックが３つのとき
$5$ つの球を $3$ つのブロックに分けて並べる方法は下図のように $3$ 通りあります．
(2) ブロックが4つのとき
$5$ つの球を $4$ つのブロックに分けて並べる方法は下図のように $4$ 通りあります．
(3) ブロックが5つのとき
$5$ つの球を $5$ つのブロックに分けて並べる方法は下図のように $1$ 通りあります．
また，$n=m$ のときは，下図のように，一番左の球が赤球か青球かで $2$ 通り考えられます．
一方，$n \neq m$ のときは，各色の球の分け方を決めてしまえば，並べ方はただ一つに決まります． たとえば，$(n,m)=(3,4)$ の場合， 赤球の分け方を $1$ つ決めたとして，
さらに青球の分け方も $1$ つ決めたとすると，
球の並べ方はただ一通りしかありえません．
以上の考察により，球の並べ方の総数は， $$3\times3\times2+3\times 4+4\times 3+4\times4\times2+4\times1+1\times4 +1\times1\times2=84$$ したがって，$\boxed{84}$ 通りが答えとなります．
参考
$5$ つずつではなく，他の数の場合の並べ方の総数が以下のサイトに載っています．
赤球と青球をそれぞれ $n$ 個ずつ一列に並べるとき，同じ色の球が $3$ つ以上連続しない並べ方
