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1/6公式とは

$\frac{1}{6}$ 公式とは,ある条件のもとで,2次関数の積分計算を高速に行うための公式です.$\frac{1}{6}$ 公式を使えば,面倒な積分計算をスキップして,すばやく答えを導くことができます.さらに,この公式が使える場面は(高校数学では)非常に多いので,覚えておくとかなり役に立ちます.

$1/6$ 公式: $\alpha,\beta\ \ (\alpha < \beta)$ を実数とするとき,つぎの等式が成り立つ. $$\large \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) \ dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$$

$$\cdot \ \ \ \ \int_{1}^{3} (x-1)(x-3) \ dx=-\frac{1}{6}(3-1)^3=-\frac{4}{3}$$ $$\cdot \ \ \ \ \int_{2}^{5} x^2-7x+10 \ dx=\int_{2}^{5} (x-2)(x-5) \ dx=-\frac{1}{6}(5-2)^3=-\frac{9}{2}$$

図形的意味

$y=(x-\alpha)(x-\beta)$ という $2$ 次関数は,グラフ上では $x$ 軸と $\alpha,\beta$ で交わる関数です.したがって, $$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) \ dx$$ という式は,$2$ 次関数 $y=(x-\alpha)(x-\beta)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の (符号つきの) 面積に他なりません.

したがって $1/6$ 公式は,この (符号つきの) 面積が $-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ と一致するという主張です.

言い換え

ところで,$2$ 次方程式 $x^2+ax+b=0$ の $2$ 解を $\alpha,\beta$ とすると,$x^2+ax+b=(x-\alpha)(x-\beta)$ と表せられるのでした.したがって, $\frac{1}{6}$ 公式はつぎのように言い換えることもできます.

$1/6$ 公式 (言い換え): $2$ 次方程式 $x^2+ax+b=0$ が $2$ つの異なる実数解をもつとき,それらを $\alpha,\beta\ (\alpha <\beta)$ とすると,次の等式が成り立つ. $$\large \int_{\alpha}^{\beta} x^2+ax+b \ dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$$

注意

・$\frac{1}{6}$ 公式は積分範囲と被積分関数の $2$ 解が一致する場合にのみ使えます.
・公式中では $x^2$ の係数が $1$ ですが,そうでない場合にも使えます.たとえば, $$\int_{-1}^{2} 2x^2-2x-4 \ dx=\int_{-1}^2 2(x^2-x-2) \ dx$$ $$=2\int_{-1}^2 x^2-x-2\ dx =2\int_{-1}^2 (x+1)(x-2) \ dx$$ $$=-\frac{2}{6}(2-(-1))^3=-9$$ というように,$x^2$ の係数は,積分の外に出せばよいです.

問題例

具体的な問題を通して,$\frac{1}{6}$ 公式の基本的な使い方をマスターしましょう.

例題 直線 $y=2x+1$ と放物線 $y=x^2-2x+4$ で囲まれた部分の面積を求めよ.

直線と放物線

まずは,直線と放物線の交点の $x$ 座標を求めます. $y=2x+1$ を $y=x^2-2x+4$ に代入すると, $$x^2-2x+4=2x+1$$ すなわち, $$x^2-4x+3=0$$ $$(x-1)(x-3)=0$$ したがって,$x=1,3$ です.つまり,積分範囲は $1$ から $3$ までです.グラフより,この範囲では直線は放物線より上側にあります.よって,求める部分の面積は, $$\int_{1}^3 (2x+1)-(x^2-2x+4) \ dx=-\int_1^3 (x-1)(x-3) \ dx=\frac{1}{6}(3-1)^3=\frac{4}{3}$$ となります.

例題 $2$ つの放物線 $y=-2x^2+3x+1$ と $y=-x^2+4x$ で囲まれた部分の面積を求めよ.

放物線と放物線

この問題も上の問題と全く同じようにして解けますが,あえて別の解き方を紹介します.

最初は同様に, $y=-2x^2+3x+1$ を $y=-x^2+4x$ に代入して, $$-2x^2+3x+1=-x^2+4x$$ すなわち $$x^2+x-1=0$$ を得ます.ここで,この $2$ 次方程式をあえて解かずに処理してみましょう. この $2$ 次方程式の判別式を $D$ とすると $D=1+4=5>0$ なので, $2$ 次方程式は異なる $2$ つの実数解をもちます.その $2$ 解を $\alpha,\beta\ \ (\alpha <\beta)$ とおくと,解と係数の関係より, $$\alpha+\beta=-1$$ $$\alpha\beta=-1$$ です.ここで,$(\beta-\alpha)^3=\left\{\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\right\}^3=5\sqrt{5}$ です.(補足参照)また,区間 $[\alpha,\beta]$ では,放物線 $y=-2x^2+3x+1$ が放物線 $y=-x^2+4x$ よりも上側にあるので,求める部分の面積は, $$\int_{\alpha}^{\beta} (-2x^2+3x+1)-(-x^2+4x) \ dx=\int_{\alpha}^{\beta} -(x-\alpha)(x-\beta)\ dx$$ $$=\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3=\frac{5\sqrt{5}}{6}$$ となります.

このように,$2$ 曲線の交点の $x$ 座標を求めることなく解くこともできます.

例題 $2$ つの $3$ 次曲線 $y=x^3-x$ と $y=x^3-x^2+2$ で囲まれた部分の面積を求めよ.

3次曲線と3次曲線

まずは,$2$ つの $3$ 次曲線の交点の $x$ 座標を求めます. $x^3-x=x^3-x^2+2$ を整理すると,$x^2-x-2=0$ となります.これを解くと,$x=-1,2$ です.また,区間 $[-1,2]$ では $y=x^3-x^2+2$ が $y=x^3-x$ よりも上側にあります.したがって,求める部分の面積は $$\int_{-1}^2 (x^3-x^2+2)-(x^3-x)\ dx$$ $$=\int_{-1}^2 -(x+1)(x-2) \ dx$$ $$=\frac{1}{6}(2-(-1))^3=\frac{9}{2}$$ となります.

この問題のように $2$ つの$3$ 次曲線の $x^3$ の係数が等しいときは,$\frac{1}{6}$ 公式が使えます.

1/6公式の証明

$1/6$ 公式の証明は,単純に左辺を計算して右辺と一致することを示すだけです.

証明: $$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) \ dx= \int_{\alpha}^{\beta} x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta \ dx=\left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{\alpha+\beta}{2}x^2+\alpha\beta x\right]_{\alpha}^{\beta}$$ $$=\frac{1}{3}(\beta^3-\alpha^3)-\frac{1}{2}(\alpha+\beta)(\beta^2-\alpha^2)+\alpha\beta(\beta-\alpha)$$ $$=\frac{1}{6}(\beta-\alpha)\left\{2(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)-3(\alpha+\beta)^2+6\alpha\beta \right\}$$ $$=\frac{1}{6}(\beta-\alpha)(-\alpha^2+2\alpha\beta-\beta^2)$$ $$=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$$

・$1$ 行目は被積分関数を展開して,単純に積分しようとしているだけです.
・$2$ 行目から $3$ 行目は,$2$ 行目をよく観察すると各項が $\beta-\alpha$ を因数にもつので,それでくくったということです.

補足

$\alpha < \beta$ なので,$\beta-\alpha > 0$ です.したがって,$\beta-\alpha=\sqrt{(\beta-\alpha)^2}$ が成り立ちます.これより, $$(\beta-\alpha)^3=\left\{\sqrt{(\beta-\alpha)^2}\right\}^3$$ です.したがってこの式に $(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$ を代入すると, $$(\beta-\alpha)^3=\left\{\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\right\}^3$$ となります.