ホーム >> 数列 >> 差の形で和が打ち消し合ういろいろな数列

数列の和を求める際,それぞれの項 $a_n$ が $b_n-b_{n+1}$ のように差の形になって,隣り合う項が打ち消し合って嬉しいことがあります.そのような例をいくつか紹介します.




差の形で和が打ち消し合うとは

数列 $\{a_n\}$ の和を求める問題でよくあるテクニックとして,差の形に分解する類のものがあります.一般的な状況としては,数列 $\{a_n\}$ の和 $$\sum_{i=1}^n a_i$$ を求める際,$a_i=b_i-b_{i+1}$ という形に分解できれば, $$\sum_{i=1}^n a_i=\sum_{i=1}^n (b_i-b_{i+1})=b_1-b_{n+1}$$ となり,和が簡潔にかけます.このように隣り合う項が打ち消しあって,結局初項と末項のみが残るような例を紹介します.

部分分数分解

最も典型的な例は部分分数分解によって,差の形に分解されるものです.たとえば, $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$$ は一見して和が求まりにくそうですが, $$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$ という部分分数分解を用いれば, $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$$ と,きれいに求まります.このことを応用すれば,たとえば $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+3)}$$ $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)(i+2)}$$ なども求めることができます.

有理化

今度は有理化によって,差の形に分解されるものです.このパターンもよくあります.

 次の式を計算せよ. $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i}+\sqrt{i+1}}$$

与えられた式の和をとる前に有理化します. $$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$$ なので, $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i}+\sqrt{i+1}}=\sum_{i=1}^n (\sqrt{i+1}-\sqrt{i})=\sqrt{n+1}-1$$ となります.

二項係数

二項係数が絡んでくる場合もあります.ここからは,ややマニアックな内容です.

 次の式を計算せよ. $$\sum_{i=n}^{2n} {}_i \mathrm{C} _n$$

これは,次の関係式を用いることにより解くことができます.

二項係数の関係式: $${}_{n} \mathrm{C} _{k}={}_{n-1} \mathrm{C} _{k-1}+{}_{n-1} \mathrm{C} _{k}$$

これより, $${}_{n-1} \mathrm{C} _{k-1}={}_{n} \mathrm{C} _{k}-{}_{n-1} \mathrm{C} _{k}$$ となって,右辺は見事に差の形になっています.これを用いると, $$\sum_{i=n}^{2n} {}_i \mathrm{C} _n=1+\sum_{i=n+1}^{2n} \left( {}_{i+1} \mathrm{C} _{n+1}-{}_i \mathrm{C} _{n+1}\right)=1-1+{}_{2n+1} \mathrm{C} _{n+1}= {}_{2n+1} \mathrm{C} _{n+1}$$ となります.

階乗

階乗の式が差の形に分解される場合があります.

 次の式を計算せよ. $$\sum_{i=1}^n \frac{i}{(i+1)!}$$

これは,次の関係式を用いることにより解くことができます.

$$\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}$$

これより, $$\sum_{i=1}^n \frac{i}{(i+1)!}=\sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{i!}-\frac{1}{(i+1)!}\right)=1-\frac{1}{(n+1)!}$$ となります.


どのパターンでも基本的なアイデアは同じです.初見の問題でも同様のアイデアを類推することができるかどうかがポイントです.