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平面上に相異なる $4$ 点をとります．この $4$ 点から $2$ 点を選ぶ選び方は ${} _{4} \mathrm{C} _{2}=6$ の $6$ 通りあります．したがって， $2$ 点間の距離としては一般には $6$ 種類ありえ...

一気に示すのではなく，$2$ 段階に分けて示します．まず，問題中に与えられた操作を有限回行うと，いずれは必ず一桁になるということを示します．そして， $9$ の倍数にこの操作を行っても再び $9$ の倍数になることを示します．この $2$...

標準的な順列の問題です．以下，説明をわかりやすくするために座席に左から $1$ から $7$ までの番号を振って区別します． 最初に席に座る人は $7$ つのどの席に座っても良いですが，$2$ 番目以降に座る人は，前に座った人によって，...

この問題はJMO2016年度本選第一問の類題です． 問題文の意味を補足しましょう．「任意の」というのは「どのような」という意味です．つまり，$1$ 以上 $p$ 未満のどのような整数$m$ をとってきても，$m$ が $kp+1$ の約数...

あまり見慣れないような整数の問題ですが，比較的やさしめの問題です．特別な知識は何もいりません 合成数とは$1$と自分自身以外に少なくとも$1$つ以上の約数をもつ整数のことです．奇数の合成数は小さい方から順に，$9,15,21,25,27....

$2007$年度の京都大学の入試問題の類題です．階段を$1$歩または$2$歩で昇る問題は中学受験でもよくある問題ですが，今回は$1$歩で$1$段昇ることは連続しないという条件がついています．この処理がポイントになります． まずは$15$段...

整数解の組をすべて決定する問題です．整数の組を代入してすべてを調べ尽くすことは不可能なので，ある程度条件を絞らなけばなりません．基本的に整数解をすべて決定する問題は次のいずれかの方法で条件を絞ることが可能です． 方法1. 余りに注目して解...

論証力と思考力を必要とする問題です．登山家が山登りをする問題ですが，休憩のみが問題となっていることに注意してください．また，個々の休憩の長さ等もあまり重要なことではありません．ただ，同時刻に休憩をとっていた登山家の人数に焦点が当たっていま...

オイラー予想とは，スイスの偉大な数学者レオンハルト・オイラーが提唱した，フェルマーの最終定理を発展させた数学の予想です．フェルマーの最終定理とはよく知られているように， フェルマーの最終定理: $3$以上の自然数$n$に対して， $$x^...

標準的な整数問題です．与えられた式は分数の形をしていますが，整数 $x$ がある値のときは，整数となります．そのような $x$ をすべて見つける問題です． ヒント-分子・分母をそれぞれ関数としてみる- 整数問題ですが，関数の知識が役に立ち...