一気に示すのではなく，$2$ 段階に分けて示します．まず，問題中に与えられた操作を有限回行うと，いずれは必ず一桁になるということを示します．そして， $9$ の倍数にこの操作を行っても再び $9$ の倍数になることを示します．この $2$ つを示せば，題意が示されます．
いずれ必ず一桁になること
まず，いずれは必ず一桁になることを示します．各桁の和を取る操作は，直感的には急速に数を小さくすると考えられます．ここではそれを厳密に示します．やり方は人それぞれなので，あくまで一例として捉えてください.
整数 $m$ の各桁の和を $S(m)$ で表す．$m$ が $N$ 桁 $(N \ge 1)$ なら， $$10^{N-1} \le m < 10^N$$ であり，$m$ の各桁の和が最も大きくなるのはすべてが $9$ であるときなので， $$S(m) \le 9N$$ です．ここで，$N \ge 3$ のときは，$9N < 10^{N-1}$ なので， $$S(m) < m$$ です．したがって，各桁の和を何回かとると，いずれ必ず $2$ 桁以下になります．$m$ が $2$ 桁の数のときは，$S(m) \le 18$ であり，さらに $S(S(m)) \le 9$ となるので，多くとも $2$ 操作を行えば必ずー桁になります．よって，どの整数もいずれは必ず一桁になります．
つねに $ の倍数であること
$9$ の倍数にこの操作を行うと再び $9$ の倍数になります．これは，$9$ の倍数の判定法としてよく知られています．証明は合同式を使えば簡単に示せます．
$m$ を $N$ 桁の整数とすると，$1$ 以上 $9$ 以下の整数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N-1}$ を用いて， $$m=a_{N-1}10^{N-1}+a_{N-2}10^{N-2}+\cdots+a_110+a_0$$ とかける．すると， $$m \equiv a_{N-1}+a_{N-2}+\cdots+a_1+a_0=S(m) (mod\ 9)$$ となるので，$m$ と $S(m)$ は $9$ を法として合同です．これで，示せました．
余力があれば，$11$ の倍数の判定法を考えてみてください．
