標準的な整数問題です．与えられた式は分数の形をしていますが，整数 $x$ がある値のときは，整数となります．そのような $x$ をすべて見つける問題です．
ヒント-分子・分母をそれぞれ関数としてみる-
整数問題ですが，関数の知識が役に立ちます．分子・分母をそれぞれ $x$ の関数として考えると，分子は一次関数，分母は二次関数となっています．したがって，$x$ が大きくなるほど分母は分子に比べてより大きくなります．
ここで， $$0
(1) $x > 2$ のとき $(x-1)(x-2) > 0$ なので， $$0 < \frac{3x+1}{x^2+3} < 1$$ です．したがって，このとき与えられた式は整数になりません． (2) $x=0,1,2$ のとき 与えられた式が整数となるのは $x=1,2$ のときのみです． (3) $x < 0$ のとき $$-1 < \frac{3x+1}{x^2+3} < 0$$ なので整数になりません．
以上より， $$\frac{3x+1}{x^2+3} $$ が整数となるのは $x=1,2$ のときです．
