Uncategorized 真偽表の意味と使い方|思考力を鍛える数学 真偽表を使うことで複雑な論理関係を明快に理解することができます. いくつかの命題が与えられたとき,それらを論理演算子で組み合わせて新しい命題をつくることができます.代表的な論理演算子としては,否定(でない),論理和(または),論理積(かつ)... 2022.11.10 Uncategorized
Uncategorized ホッケースティック恒等式|思考力を鍛える数学 ホッケースティック恒等式 (hockey-stick identity) とは,二項係数に関する等式のひとつです.二項係数に関する等式は数多くありますが,その中でも代表的なもので,非常によく用いられます.この等式を用いると,多くの場面で,数... 2022.10.06 Uncategorized
Uncategorized 二項演算子と方程式|思考力を鍛える数学 足し算の $+$ や,かけ算の $\times$ のように,二つの数から新たな数をひとつ決める規則を二項演算子といいます. 問題文の演算子 $\star$ は,$0$ でないふたつの実数からひとつの実数を決める規則を定めます.この奇妙な演... 2022.10.05 Uncategorized
Uncategorized 根号を含む方程式|思考力を鍛える数学 左辺の根号が含まれた式が厄介なので,根号を外すことを考えます.やり方は2パターンあります.移項して両辺を何乗かする方法と,文字を適切に置換する方法です.どちらでも解けますが,どちらの方法がよりスマートに解けるでしょうか. 解法がいくつか思... 2022.09.12 Uncategorized
Uncategorized 凸関数とJensenの不等式|思考力を鍛える数学 解析学の広い範囲で極めて有用な絶対不等式である,Jensenの不等式について紹介します. Jensenの不等式を説明する前の準備として,まずは凸関数とは何かを説明します. 凸関数の定義: 関数 $f(x)$ が凸関数であるとは,任意の $x... 2022.09.03 Uncategorized
Uncategorized 素数が無限に存在することの証明|思考力を鍛える数学 素数が無限に存在すること証明を $3$ 通り紹介します. ・背理法 ・数学的帰納法 ・ $n$ と $n+1$ は互いに素 ・ $1$ 以上の整数は必ずひとつ以上の素因数をもつ 素数とは,$1$ より大きく,$1$ と自分自身以外に約数を... 2022.08.18 Uncategorized
Uncategorized 格子点の $2$ 色の割り当て|思考力を鍛える数学 組合せの問題ではよくあるマス目の彩色問題です.(今回は格子点の彩色と言っていますが,本質的にはマス目の彩色といっても同じです) さて,$3\times 7$ の格子が与えられて,この $21$ 個の格子点それぞれに対して赤または青の色を割... 2022.08.18 Uncategorized
Uncategorized 約数の個数の求め方|思考力を鍛える数学 この記事では,約数といえば正の約数を意味することとします. たとえば,$12$ の約数は $1,2,3,4,6,12$ で合計 $6$ つあります.一方,$13$ の約数は $1,13$ で合計 $2$ つです.一般の自然数について,その約... 2022.08.18 Uncategorized
Uncategorized Spernerの補題|思考力を鍛える数学 Spernerの補題とは,ブラウワーの不動点定理の組合せ的なアナロジーとして知られている命題です. 本記事ではブラウワーの不動点定理との関連は解説せずに,Spernerの補題の主張と証明を紹介します. Spernerの補題はそれ自体面白い命... 2022.08.18 Uncategorized
Uncategorized 六角形の面積|思考力を鍛える数学 直角三角形 $ABC$ があり,$\triangle ABC$ の各辺と辺を共有するように $3$ つの正方形が接しています.このとき,六角形 $DEFGHI$ (下図の赤い部分)の面積を求めるのが問題です. 一見,簡単そうですが,きれ... 2022.08.18 Uncategorized