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真偽表を使うことで複雑な論理関係を明快に理解することができます． いくつかの命題が与えられたとき，それらを論理演算子で組み合わせて新しい命題をつくることができます．代表的な論理演算子としては，否定(でない)，論理和(または)，論理積(かつ)...

ホッケースティック恒等式 (hockey-stick identity) とは，二項係数に関する等式のひとつです．二項係数に関する等式は数多くありますが，その中でも代表的なもので，非常によく用いられます．この等式を用いると，多くの場面で，数...

解析学の広い範囲で極めて有用な絶対不等式である，Jensenの不等式について紹介します． Jensenの不等式を説明する前の準備として，まずは凸関数とは何かを説明します． 凸関数の定義：　関数 $f(x)$ が凸関数であるとは，任意の $x...

組合せの問題ではよくあるマス目の彩色問題です．(今回は格子点の彩色と言っていますが，本質的にはマス目の彩色といっても同じです) さて，$3\times 7$ の格子が与えられて，この $21$ 個の格子点それぞれに対して赤または青の色を割...

Spernerの補題とは，ブラウワーの不動点定理の組合せ的なアナロジーとして知られている命題です． 本記事ではブラウワーの不動点定理との関連は解説せずに，Spernerの補題の主張と証明を紹介します． Spernerの補題はそれ自体面白い命...