Uncategorized 角の二等分線の性質と二等分線の長さ|思考力を鍛える数学
三角形の内角・外角の二等分線の性質は，中学数学で習う基本的で重要な性質です．それらの主張とその証明を紹介します．さらに，後半では発展的内容として，角の二等分線の長さについても紹介します．
三角形のひとつの角の二等分線が与えられたとき，次の基...
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Uncategorized 連続する自然数の和で表される数|思考力を鍛える数学
$2$ つ以上の連続する自然数の和とは，たとえば，$1+2+3$ や $3+4+5+6+7$ などのことです．(つまり $6,25 \in X$) より形式的に言えば，自然数 $m,n\ (m\ge 1,n\ge 2)$ を用いて， $$...
Uncategorized Youngの不等式|思考力を鍛える数学
・対数の底が $e$ のとき，$\log_e$ と書かずに $\ln$ と書きます．(これはかなり一般的な用法です) つまり，$\ln a$ は $\log_e a$ のことです． ・ 指数関数の性質 $$a=e^{\ln a} (a&...
Uncategorized カタラン数のいろいろな例|思考力を鍛える数学
ホーム >> 場合の数 >> カタラン数のいろいろな例
2018/6/9 場合の数
カタラン数が関連する組合せ問題の例をいくつか紹介します．
⇨予備知識
カタラン数の定義と性質については，別記事→カタラン数の...
Uncategorized ピタゴラス数|思考力を鍛える数学
三平方の定理を満たす自然数の組について考察します．
$a^2+b^2=c^2$ を満たす自然数の組 $(a,b,c)$ をピタゴラス数といいます．たとえば，$3^2+4^2=5^2，5^2+12^2=13^2$ なので，$(3,4,5),(...
Uncategorized 直角三角形にはめこまれた2つの正方形|思考力を鍛える数学
正方形 $X$ は辺 $AC,CB$ と辺を共有しており，辺 $AB$ と接しています．また，正方形 $Y$ は辺 $AB$ と辺を共有しており，辺 $AC,BC$ と接しています．$X,Y$ の面積の情報のみから，$△ABC$ の面積を...
Uncategorized 二等辺三角形と二等分線|思考力を鍛える数学
初等的な求角問題です．中学数学の知識で解けますが，発想力がそれなりに必要です．$AB+CD=BC$ をどう使うかが最大の問題です．$AB$ と $CD$ は一見関係のない辺なので，そのままこの等式を使おうとするのは厳しそうです．どのように...
Uncategorized 黒板の2つの数を消し，その差を書く遊び|思考力を鍛える数学
$2$ つの整数 $a,b$ の差とは，$|a-b|$ のことだと考えてください．つまり，操作は $2$ つの整数を消し，新たにひとつの非負整数をつけたすという行為になります．操作を行うごとに黒板に書かれた数は一つ減るので，この操作を $...
Uncategorized 複2次式の因数分解|思考力を鍛える数学
この記事では，因数分解はすべて有理数の範囲で考えます．
次数がすべて偶数であるような多項式を複2次式といいます．
複2次式の例
・$x^4+1$ ・$3x^4-2x^2+4$ ・$x^6+3x^2+2$ ・$x^2y^4+y^2+1$
この...
Uncategorized 3対3の対抗戦の勝敗|思考力を鍛える数学
$3$ 対 $3$ の総当たり戦とは，どの生徒も他校の $3$ 人の生徒と戦ったということです．したがって，合計 $9$ 試合行われたことになります．さらに引き分けがないので，どの試合も一方の生徒が勝ち，他方の生徒が負けたことになります．...