正方形 $X$ は辺 $AC,CB$ と辺を共有しており，辺 $AB$ と接しています．また，正方形 $Y$ は辺 $AB$ と辺を共有しており，辺 $AC,BC$ と接しています．$X,Y$ の面積の情報のみから，$△ABC$ の面積を求める問題です．
単純な図形問題にみえて結構手強い問題です．上手に文字を設定しなければ計算が複雑になってしまうので，工夫が必要です．
ヒント・考え方
まず最初のステップは，$△ABC$ と相似な三角形がたくさん隠れていると気づくことです．
あとは適切に文字を設定して，粘り強く式を解いていくことになります．いろいろな解法が考えられると思います．
解答例
$AB:BC:CA=1:x:y$ とします．$△ABC$ は直角三角形なので，三平方の定理より，$x^2+y^2=1$ が成り立つことに注意してください． $BC$ の長さを二通りの方法で表してみましょう．まず，最初の条件から， $$BC=\sqrt{361}+\sqrt{361}\frac{x}{y}=19+\frac{19x}{y}$$ です．また，二番目の条件から， $$BC=\sqrt{360}x+\sqrt{360}\frac{1}{y}=6\sqrt{10}x+\frac{6\sqrt{10}}{y}$$ これらより， $$19+\frac{19x}{y}=6\sqrt{10}x+\frac{6\sqrt{10}}{y}$$ が成り立ちます．両辺 $y$ 倍すると， $$19(x+y)=6\sqrt{10}(xy+1) \cdots (1)$$ となります．いま，$x^2+y^2=1$ という等式が成り立っていたので，これを利用するために $(1)$ 式を $2$ 乗してみると， $$361(x^2+2xy+y^2)=360(x^2y^2+2xy+1)$$ この式に $x^2+y^2=1$ を代入して， $$360(xy)^2-2xy-1=0$$ を得ます．これを因数分解すると， $$(20xy+1)(18xy-1)=0$$ となり，$xy > 0$ より，$xy=\frac{1}{18}$ を得ます． ここで，$AB=k$ とすると，$BC=kx，CA=ky$ と書けます．求める値は $\frac{1}{2}k^2xy$ なので，あとは $k$ の値を求めればよいです．
$$AC+BC=kx+ky=(\sqrt{361}+\sqrt{361}\frac{y}{x})+(\sqrt{361}+\sqrt{361}\frac{x}{y})$$ $$=\sqrt{361}\left( 2+\frac{x^2+y^2}{xy}\right)=19\left(2+18\right)=380 \cdots (2)$$ 一方，$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=1$ であるから，$(x+y)^2=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$ ．したがって， $x+y=\frac{\sqrt{10}}{3}$ です．これを，$(2)$ に代入して， $$k=380\times \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{1140}{\sqrt{10}}$$ よって，$△ABC$ の面積は $$\frac{1}{2}\times \frac{1140^2}{10}\times \frac{1}{18}=3610$$
