Uncategorized メネラウスの定理とその覚え方|思考力を鍛える数学
メネラウスの定理とは，三角形と，その頂点を通らないひとつの直線があるときに成り立つ線分の比に関する定理です．証明は平行線と比の定理を $2$ 回用いることにより示せます．
メネラウスの定理: $△ABC$ の辺 $BC,CA,AB$ または...
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Uncategorized 接弦定理と接弦定理の逆|思考力を鍛える数学
接弦定理： 円 $O$ の弦 $AB$ と，点 $A$ における接線 $AT$ とのなす角 $\angle BAT$ は，その角の内部に含まれる弧 $AB$ に対する円周角 $\angle ACB$ に等しい．
一般に，円 $O$ とその...
Uncategorized コーシー・シュワルツの不等式|思考力を鍛える数学
相加相乗平均の不等式の次にメジャーな不等式であるコーシー・シュワルツの不等式の証明と典型的な例題を紹介します．
コーシー・シュワルツの不等式: 実数 $a_1,a_2,\cdots,a_n, b_1,b_2,\cdots,b_n$ について...
Uncategorized よく使う因数分解・展開の公式まとめ|思考力を鍛える数学
数式処理の基本である因数分解と展開の公式をまとめました．
以下は絶対に覚えておくべき基本的な因数分解・展開公式です．
がんばって暗記するようなものではなく，ふつうに数学をしていると，あまりに使う頻度が多すぎて自然と身に付いてしまう類のもので...
Uncategorized 累乗の和の公式|思考力を鍛える数学
累乗の和の公式：
$$\large \sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)$$ $$\large \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$ $$\large \sum_{...
Uncategorized 中点連結定理|思考力を鍛える数学
平面図形の基本的な定理である中点連結定理とその逆について紹介します．
中点連結定理とは，三角形の２辺の中点同士を結んだ線分に関する定理です．具体的には次のような主張です．
中点連結定理： $△ABC$ について，辺 $AB，AC$ の中点を...
Uncategorized 等差数列について|思考力を鍛える数学
最も基本的な数列である等差数列について解説します．
$$1,3,5,7,9,11,13,15,\cdots$$ は初項 $1$ に一定の数 $2$ を次々に足していった数列です．
一般に，数列 $\{a_n\}$ において，各項に一定の数 ...
Uncategorized 数についての基本的なこと|思考力を鍛える数学
下図に数の種類をまとめました．ややこしくなるのを避けるために $2$ つに分けています．
実数は有理数と無理数のふたつにわけられます．小数で表したとき，有限でとまるか，循環するものが，有理数で，循環せずに無限につづくものが無理数です．
さ...
Uncategorized 実係数多項式の共役根について|思考力を鍛える数学
『実係数多項式が根 $\alpha$ をもつとき，その共役複素数 $\bar{\alpha}$ も根となる』という性質について解説します．
実係数多項式の共役根： 実係数多項式 $P(x)$ について，方程式 $P(x)=0$ の複素数解の...
Uncategorized 集合に関する記号の表し方|思考力を鍛える数学
様々な集合に関する記号の意味についてまとめました．
集合とは，いくつかのものや数の集まりのことを言います．集合を構成する個々のもののことを元 (または要素) といいます．集合は波括弧 {} を用いて記述するのが慣例です． 一般に，集合の表し...