ホーム >> 数列 >> $a_{n+1}=pa_{n}+q$ に帰着できる漸化式の例

変数変換やその他の操作を施すことによって,$a_{n+1}=pa_{n}+q$ 型の漸化式を解くことに帰着するような漸化式の例をいくつか紹介します.




はじめに

前記事 漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ の解き方 で,漸化式 $$a_{n+1}=pa_{n}+q$$ の基本的な解き方を解説しました.ここで,$p$ と $q$ は $n$ に無関係な定数です.このタイプの漸化式の解き方を覚えておけば,いろいろな漸化式を解くときに役立ちます.この記事では,与えられた漸化式に何らかの操作を加えると,結局 $a_{n+1}=pa_{n}+q$ タイプの漸化式を解くことになるような例を紹介します.

つまり,以下で紹介する漸化式は $a_{n+1}=pa_{n}+q$ タイプの派生形と考えることができます.

$a_{n+1}=pa_n+q^n$ タイプ

まずは,漸化式に 定数の $n$ 乗が含まれる場合です.

 次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ. $$a_1=3, a_{n+1}=6a_n+3^n$$

両辺 $3^{n+1}$ で割ると, $$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3^n}a_n+\frac{1}{3}$$ となるので,$b_n=\frac{a_n}{3^n}$ とおけば, $$b_1=1, b_{n+1}=2b_n+\frac{1}{3}$$ となります.これより,特性方程式を考えれば, $$b_{n+1}+\frac{1}{3}=2\left(b_n+\frac{1}{3}\right)$$ が導かれるので, $$b_n+\frac{1}{3}=2^{n-1}\left(b_1+\frac{1}{3} \right)=\frac{2^{n+1}}{3}$$ $b_n=\frac{a_n}{3^n}$ であるから $$a_n=3^{n-1}(2^{n+1}-1)$$ となります.

検討

右辺の $3^n$ を定数にするために,式を割ります.すると,$\frac{a_n}{3^n}$ というかたまりで考えれば,$a_{n+1}=pa_{n}+q$ というタイプになっています.

$a_{n+1}=\frac{a_n}{pa_n+q}$ タイプ

つぎは,分数がからむ漸化式です.

 次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ. $$a_1=1, a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+2}$$

すべての自然数 $n$ に対して,『$a_n > 0$ ならば $a_{n+1} > 0$ 』が成り立ちます.初項は正の数なので,数列 $\{a_n\}$ はつねに正の数です.つまり,数列がどこかで $0$ となるようなことはありませんから,漸化式の逆数を考えることができます.

漸化式の両辺の逆数をとると, $$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+2}{a_n}=\frac{2}{a_n}+1$$ $b_n=\frac{1}{a_n}$ とおくと, $$b_1=1, b_{n+1}=2b_n+1$$ ここまで来ればあとはルーティンワークです.特性方程式を考えて, $$b_{n+1}+1=2(b_n+1)$$ とすれば, $$b_n+1=2^{n-1}(b_1+1)=2^n$$ したがって, $$a_n=\frac{1}{2^n-1}$$ となります.

検討

漸化式の逆数をとって $\frac{1}{a_n}$ というかたまりで考えれば,$a_{n+1}=pa_{n}+q$ というタイプになっています.

ただし,$0$ の逆数を考えることは数学では禁止されているので,漸化式の両辺の逆数をとる前に,どの $n$ に対しても数列 $\{a_n\}$ の項が $0$ にならないということを確かめる必要があります.

$a_{n+1}=pa_n^q$ タイプ

最後は $a_n$ の定数乗が含まれる場合です.両辺の対数をとるとうまくいきます.

 次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ. $$a_1=2, a_{n+1}=4 \sqrt{a_n}$$

$a_n >0$ ならば $4\sqrt{a_n} > 0$ であり,$a_1>0$ なので,すべての自然数 $n$ について,$a_n >0$ です.よって両辺の $\log$ をとることができます.

漸化式の両辺の2を底とする対数をとると, $$\log_2 a_{n+1}=\frac{1}{2}\log_2 a_n+2$$ $b_n=\log_2 a_n$ とおくと, $$b_1=1, b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+2$$ 特性方程式を考えて, $$b_{n+1}-4=\frac{1}{2}(b_n-4)$$ とすれば, $$b_n-4=\left(\frac{1}{2} \right)^{n-1} (b_1-4)=-3\left(\frac{1}{2} \right)^{n-1}$$ したがって, $$\log_2 a_n =4-3\left(\frac{1}{2} \right)^{n-1}$$ より, $$a_n=2^{4-3\left(\frac{1}{2} \right)^{n-1}}$$

検討

対数をとるときは,その対象が正であることを確かめなければならないことに注意しましょう.

以下のような漸化式の場合にも対数をとるという方法が有効です. $$a_1=3, a_{n+1}a_{n}^2=3$$