自然対数の底 $e$ が無理数であることの証明を紹介します．
自然対数の底 $e$ とは，つぎの式で定義される値のことです． $$e=\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ つまり，右辺の極限は収束し，その極限値は $2.718281828459\cdots$ となるので，その値を $e$ と定めるということです．
$e$ はつぎのように級数で表示することができます． $$e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots\cdots$$ この等式を $e$ の定義として定める場合もあります． ここでは，$$e=\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ と定義し，上の等式が成り立つことを証明してみましょう． まず，数列 $\{a_n\}，\{b_n\}$ を，$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n，b_n=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}$ と定めます．
示すべきは， $$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=\lim_{n \rightarrow \infty} b_n$$ です．二項定理より， $$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n!}{n!}\frac{1}{n^n}$$ したがって， $$a_n=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)$$ $$< 1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}=b_n$$ ゆえに，$$\boxed{a_n < b_n}$$ が成り立ちます．
つぎに，$n>p$ を満たす自然数 $p$ をひとつとると， $$a_n > 1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{p!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{p-1}{n}\right)$$ が成り立ちます．（この式の右辺は，$a_n$ の各項を左から $p+1$ 項までとったもの．）
この不等式において，$n \rightarrow \infty$ とすると， 左辺は定義から $e$ に収束し，右辺は $b_p$ に収束します．したがって， $$e \ge b_p$$ さらに，上で示したことから， $$e \ge b_p > a_p$$ この不等式において $p \rightarrow \infty$ とすると，はさみうちの原理より， $$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=\lim_{n \rightarrow \infty} b_n$$ がいえます．
さて，上で行った準備を用いて，自然対数の底 $e$ が無理数であることを証明しましょう．
背理法で示します．$e$ が有理数であると仮定すると，互いに素な自然数 $p,q$ を用いて， $$e=\frac{p}{q}$$ とかけます．したがって， $$\frac{p}{q}=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots$$ となります．両辺に $q!$ をかけると，ある自然数 $N$ を用いて， $$p\times (q-1)!=N+\color{red}{\underline{\color{black}{\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}\cdots}}}$$ となります．ここで，赤線部の各項に対して， $$\frac{1}{(q+1)(q+2)} < \frac{1}{(q+1)^2}，\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)} < \frac{1}{(q+1)^3}$$ などが成り立つので， $$\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\cdots < \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^2}+\frac{1}{(q+1)^3}+\cdots =\frac{\frac{1}{q+1}}{1-\frac{1}{q+1}}=\frac{1}{q}$$ です．よって， $$N < p\times (q-1)! < N+\frac{1}{q}$$ となりますが，これは $p\times (q-1)!$ が自然数であることに矛盾します．
よって， $e$ は無理数です．
