グラフ理論の問題ですが，特別な知識は必要ありません．以下では，状況を簡略化するために，人を点で表し，『$2$ 人が互いに知り合いである』という状況を， $2$ 点を線分で結ぶことで表します．同様に，『$2$ 人が互いに知り合いでない』という状況を，$2$ 点を線分で結ばないことで表します．
5人以上であること
参加者が $5$ 人以上であることは容易にわかります．なぜならもし，参加者が $4$ 人以下ならば，どの参加者も知り合いの数が $3$ 人以下で，さらに知り合いでない人の数も $3$ 人以下なので，問題の条件を満たすような人物はいません．
8人以上いれば条件を満たす
最少人数を聞かれているので，ここの考察は解答を求めるだけなら必要ないかもしれませんが，念のためしておきます．
参加者が $8$ 人以上であれば条件を満たすことがわかります．もし，参加者が $8$ 人以上ならば，ある参加者一人に注目すると，その人の知り合いと知り合いでない人の数は合わせて $7$ 人以上です．$7$ より大きい数をどのように $2$ つの自然数に分けても，どちらか一方は $4$ 以上になります．ゆえに，$8$ 人以上いれば条件を満たします．さて $8$ 人がこの問題の答えでしょうか．それを言うためには，$7$ 人以下で条件を満たさないことを示さなければなりません．参加者が $7$ 人以下の場合を見てみましょう．
参加者が5人の場合
参加者が $5$ 人の場合，参加者同士がたとえば次のような交友関係だったとします．
このとき，どの参加者の知り合いの数も $2$ 人で知り合いでない人の数は $3$ 人ですから，条件を満たしません．要するに，どの参加者も，知り合いの数と知り合いでない人の数の大きい方が $3$ 以下にできるような交友関係が見つかれば，問題の条件を満たさないようにできるということです．
参加者が6人の場合
参加者が $6$ 人の場合も，参加者がたとえば次のような交友関係だった場合，条件を満たしません．
参加者が7人の場合
最後に，参加者が $7$ 人の場合を考えます．実は，参加者が $7$ 人の場合は条件を常に満たします．つまり，どのような交友関係であったとしても，『知り合いが $4$ 人以上いるか，または知り合いでない人が $4$ 人以上いる』ような人が確実に存在します．以下，それを説明します．
背理法を用います．いま，どの参加者についても，知り合いの数と知り合いでない人の数のどちらも $3$ 人以下だったとします．全参加者の数は $7$ 人なので，どの参加者についても，知り合いの数と知り合いでない人の数の和は $6$ 人です．したがって，どの参加者も知り合いの数がちょうど $3$ 人ということになります．しかし，グラフの線分の数に注目すると，$\frac{7\times 3}{2}$ となって，これは整数でないので，このようなことはありえません．よって，『知り合いが $4$ 人以上いるか，または知り合いでない人が $4$ 人以上いる』ような人が確実に存在します．
以上より，求める答えは $7$人ということがわかります．
文章で考えるとわかりにくいですが，グラフに落としこんで考えるとわかりやすいですね．
