ホーム >> 三角比・三角関数 >> 余弦定理の証明と使いどころ

かなり重点的に問われることの多い余弦定理について解説します.




余弦定理

余弦定理とは,三角形の $3$ 辺とひとつの角の余弦に関する以下の関係式のことです.

余弦定理: $△ABC$ について,次の等式が成り立つ.
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,\ \ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$ $$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B,\ \ \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,\ \ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

三角形
ここで,$△ABC$ の $3$ 辺 $a,b,c$ はいつものように右の図のような位置関係にある辺です.左右に並べられた $2$ つの等式は式変形すれば同じものですが,どちらの形もよく使うので,$2$ 種類とも並べました.

ひとつの角 (たとえば $A$ ) が $90°$ のとき,$\cos A=0$ なので,これを余弦定理に代入すれば,$a^2=b^2+c^2$ が成り立ちます.これは三平方の定理に他なりません.この意味で,余弦定理は三平方の定理の一般化と考えることができます.

余弦定理の証明

最も簡単な証明方法はベクトルを用いる方法です.

証明:  $$a^2=|\vec{a}|^2=\left|\overrightarrow{BC}\right|^2=\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}\right|^2$$ $$=\left|\overrightarrow{AC}\right|^2 +\left|\overrightarrow{BA}\right|^2+2 \cdot \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA}$$ $$=\left|\overrightarrow{AC}\right|^2 +\left|\overrightarrow{BA}\right|^2-2 \cdot \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$ $$=b^2+c^2-2bc\cos \angle A$$ その他の公式も同様にして導かれる.

また,座標を導入して求めることもできます.
余弦定理の座標による証明

証明: 上の図において,$B(c,0),C(b\cos A,b\sin A)$ より, $$BC^2=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$ 一方,$BC=a$ なので, $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$ となる.その他の公式も同様にして導かれる.

余弦定理の使いどころ

冒頭で述べたように,重要なことは,余弦定理は,三角形の $3$ 辺とひとつの角に関する関係式であるということです.この $3$ 辺と $1$ 角の合計 $4$ つの情報のうち,$3$ つがわかっていれば,余弦定理によって,$4$ つ目の情報を手に入れることができるのです.したがって,余弦定理の使い方は主に $2$ パターンあります.

Patern $1$:三角形の $3$ 辺が与えられたとき

3辺が与えられた三角形
たとえば,上の図のように三角形の $3$ 辺の長さがわかっているとき,三角形の内角の余弦がわかります. $$\cos A=\frac{2^2+(1+\sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2}{2\cdot2\cdot(1+\sqrt{3})}=\frac{1}{2}$$ したがって,$A=60°$ です.

Patern $2$:三角形の $2$ 辺と $1$ 角が与えられたとき

2辺と1角が与えられた三角形
今度は上の図のように三角形の $2$ 辺と $1$ 角がわかっているとき,三角形のもうひとつの辺がわかります. $$(\sqrt{2})^2=2^2+a^2-4a\cos 30°$$ より,$2=4+a^2-2\sqrt{3}a$ となって,これを整理すると,$a^2-\sqrt{3}a+2=0$ となります. これを解くと,$$a=\sqrt{3}+1,\sqrt{3}-1$$ 答えが $2$ つ表れました.実は,$AB=2,AC=\sqrt{2},\angle BAC=30°$ を満たす三角形は下の図のよに $2$ 種類あります.
2辺と1角が与えられた三角形