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三角比の初歩的な関係式について解説します.




三角比の定義のおさらい

下の図で,$\sin \theta,\cos \theta,\tan \theta$ はそれぞれ, $$\sin \theta=\frac{y}{r},\ \cos \theta=\frac{x}{r},\ \tan \theta=\frac{y}{x}$$ を表すのでした.

三角比は,直角三角形の $2$ 辺の比を表す符号です.三角比を用いると,幾何学的対象を解析的にとらえることができるので便利です.しかし,そのためには三角比についてどのような性質が成り立つのかを知っていなければなりません.以下では最も基本的な関係式を解説します.

三角比の相互関係

三角比に関して,以下の $2$ つの関係式が基本的です.

三角比の相互関係式 $$(1)\ \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$$ $$(2)\ \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

証明: ($1$) $$(左辺)=\frac{y^2}{r^2}+\frac{x^2}{r^2}$$ ここで,三平方の定理より,$x^2+y^2=r^2$ なので, $$\frac{y^2}{r^2}+\frac{x^2}{r^2}=1$$ よって, $$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$$ ($2$) $$\tan \theta=\frac{y}{x}=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

証明中の文字は前の図と合わせてあります.
($1$) の証明を見るとわかるように,$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$ という関係式は三平方の定理と同値です.つまり,三角比を用いて三平方の定理を表現すると,$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$ となるわけです.

重要な事は,($1$) の関係式より,$\sin \theta$ の値が決まれば,$\cos \theta$ の値が決まり,同様に,$\cos \theta$ の値が決まれば,$\sin \theta$ の値が決まるということです.(ただし,厳密にはひとつに決まるとは限りませんが.)

cos と tan の関係式

$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$,$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ という $2$ つの関係式は絶対に覚えなければなりません.この $2$ つさえ覚えれば,この節と次の節の関係式はいつでもつくりだすことができるので,覚える必要はありません.適宜,必要なときにつくればいいのです.

cos と tan の関係式 $$\tan^2 \theta+1=\frac{1}{\cos^2 \theta}$$

証明: $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$ の両辺を $\cos^2 \theta$ で割ると, $$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}+1=\frac{1}{\cos^2 \theta}$$ となる.$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より, $$\tan^2 \theta+1=\frac{1}{\cos^2 \theta}$$

この関係式によって,$\tan \theta$ を $\cos \theta$ に,また,$\cos \theta$ を $\tan \theta$ に変換することができます.ただし,$\cos \theta \neq 0$ のときに限ります.

sin と tan の関係式

sin と tan の関係式 $$1+\frac{1}{\tan^2 \theta}=\frac{1}{\sin^2 \theta}$$

証明: $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$ の両辺を $\sin^2 \theta$ で割ると, $$1+\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}=\frac{1}{\sin^2 \theta}$$ となる.$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より, $$1+\frac{1}{\tan^2 \theta}=\frac{1}{\sin^2 \theta}$$

この関係式によって,$\tan \theta$ を $\sin \theta$ に,また,$\sin \theta$ を $\tan \theta$ に変換することができます.ただし,$\sin \theta \neq 0$ のときに限ります.


必要に応じてそれぞれの関係式を用いることができるようになりましょう.