思考力を鍛える数学

数え上げの基本的な考え方と，辞書式順序，樹形図というふたつの基本的な道具を紹介します． ある事柄の起こりうる場合の数をすべて調べ尽くすことを，数え上げといいます． 数え上げで最も重要なことは次のふたつです． ・すべての場合を数えもらさないこ...

突然ですが，$A,B,C,D$ の $4$ 文字から，異なる $2$ 文字を選んで一列にならべる方法は何通りあるでしょうか．実際に並べてみると， $$AB　AC　AD　BA　BC　BD$$ $$CA　CB　CD　DA　DB　DC$$ の $...

この問題は，”Wason selection task”(またはWason four-card problem)と呼ばれていて，イギリスの心理学者のPeter Cathcart Wason(1924-2003)が1966年に考案した論理パ...

整数係数多項式の有理数解の候補を絞る方法を紹介します． 多項方程式の解を求める問題を考えてみましょう．多項方程式とは， $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$$ で表される方程式のことです．($...

証明法の中でも特に重要かつ頻繁に用いられる背理法について，具体例をあげながら紹介します． ある命題を証明するために，その命題が成り立たないと仮定して矛盾を導き，それによって命題が成り立つと結論する証明法を，背理法(はいりほう)といいます． ...

上の表は，正の整数を左上から順に，ななめ左下方向に並べてあります．$i$ 行 $j$ 列にある整数を $i,j$ を用いて表すのが問題です．規則性をうまく見つけて解くのがポイントです，いろいろな考え方で解くことができるので，自分なりの方法...

ウォリスの公式: $$\large \prod_{n=1}^\infty \frac{2n}{(2n-1)}\frac{2n}{(2n+1)}=\frac{\pi}{2}$$ 上の等式を，ウォリスの公式と言います．等式の左辺の $\Pi$ ...

$2$ つの集合 $X,Y$ が等しいことを示すための基本的な考え方を紹介します． $X,Y$ を集合とします．$X=Y$ とは 『$X\subseteq Y$ かつ $X\supseteq Y$』 のことです．つまり，$X$ のすべての要...

中点と，三角形の重心の座標の求め方を解説します．この記事の主目的は，三角形の重心の座標の公式を理解することです． 前記事 →内分点と外分点の求め方 で，線分を内分する点の座標の求め方を解説しました． 線分を $1:1$ に内分する点をその線...

集合の要素数の数え上げに関する基本的な公式を紹介します． 和集合の要素数に関する以下の等式を，包除原理といいます． 包除原理：　$A_1,A_2,...,A_n$ を有限集合とするとき，次の等式が成り立つ． $$|A_1\cup A_2 \...