2021-12

つぎの形の隣接三項間漸化式を考えましょう． $$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0　(n=1,2,3,...)　　\cdots (*)$$ ここで，$p,q$ は定数で，$0$ でない数とします．数列 $\{a_n\}$ に対し...

hide or visible ポリアの壺とよばれる有名な確率の問題です．この問題を題材にした大学入試問題もたびたび出題されています． 袋の中の球を取り出す確率の問題はたくさんありますが，この問題の珍しいところは，試行を繰り返すたびに袋の中...

不等式の証明問題です．どんな自然数 $n$ をとってきても $\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}$ が $\frac{5}{4}$ より小さいことを示...

連立 $2$ 元 $1$ 次方程式の解き方を解説します． つぎのような文章題を考えてみましょう． 例題　$A$ くんは $1$ 個 $90$ 円のりんごと，$1$ 個 $150$ 円のなしを合わせて $8$ 個買ったところ，合計の値段が $...

この問題は，中国の算術書，『孫子算経』に書かれている問題です．(数字は多少異なるかもしれませんが．)　実は，$3\times5\times 7=105$ 以下で，問題の条件を満たすものがたったひとつだけ存在します．したがって，当てずっぽう...

二項定理は非常に汎用性が高く，いろいろなところで登場します． $(x+y)^2$ を展開すると，$(x+y)^{2}=x^2+2xy+y^2$ となります． また，$(x+y)^3$ を展開すると，$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3x...

整数と三角形に関する問題です．問題自体はシンプルですが，糸口がパッと思いつくかどうかで差がつきそうです． ヒント 問題では，三角形の $3$ 辺と面積に関する情報のみが関わっています．ヘロンの公式を思いつけるかどうかが勝負の分かれ目でしょ...

あみだくじの問題です．あみだくじの横線は，隣り合う縦線をつなぐように引かなければなりません．たとえば，下図のように横線を $3$ 本引くと，$ABCDEF$ というならびは，$BCAEDF$ というならびになります． さて，$ABCDE...

交代式の因数分解の裏技的方法を紹介します．この記事では，因数分解はつねに実数の範囲で考えます． まずは次の問題を考えてみましょう． 問　次の式を因数分解せよ． $$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$$ 因数分...

図形の合同とは，形と大きさが等しいという概念を表すための数学用語です． 平面上の $2$ つの図形について，一方の図形に平行移動・回転移動・反転の操作を施して他方の図形にぴったり重ねることができるとき，それらふたつの図形は合同であるといいま...