不等式の証明問題です．どんな自然数 $n$ をとってきても $\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}$ が $\frac{5}{4}$ より小さいことを示してください．
左辺は $n$ に関して単調に増加する級数で，右辺は定数なので，数学的帰納法は使えなさそうです．
不等式 $$\frac{1}{k^3}
$n=1$ のとき，$1 $n \ge 2$ とします． $$S_n=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}$$ とおきます．
任意の正整数 $k$ に対して，$k^3 > (k-1)k(k+1)$ なので， $$\frac{1}{k^3}
積分を用いて証明することもできます．ただし，安直にやると失敗するので少しだけ工夫が必要です．まず，$y=\frac{1}{x^3}$ のグラフを考えます．(下図は単なるイメージ図で，全く正確ではないので気をつけて下さい)
ここで，長方形たちの面積の和は $S_n$ です．したがって，$y=\frac{1}{x^3}$ 以下 $x$ 軸以上の部分の面積と，この長方形たちの面積の和を比較すれば，$S_n$ を評価することができます．
以下，失敗例と成功例をそれぞれ紹介します．
失敗例
下図の長方形の面積の和と，$x$ 軸と $x=1,x=n,y=\frac{1}{x^3}$ で囲まれた面積を比較すると，
$$S_n=1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^3} < 1+\int_{1}^n \frac{1}{x^3} dx$$ $$= 1+\left[-\frac{x^{-2}}{2}\right]_1^n=\frac{3}{2}-\frac{1}{2n^2}$$ これより， $$S_n< \frac{3}{2}=\frac{6}{4}$$ が得られます．しかし，$S_n
積分する範囲を $[1,n]$ から $[2,n]$ にかえるとうまくいきます． $n=1,2$ のとき，与式は成立するので，$n \ge 3$ と仮定します．このとき，下図の長方形の面積の和と，$x$ 軸と $x=2,x=n,y=\frac{1}{x^3}$ で囲まれた面積を比較すると，
$$S_n=1+\frac{1}{2^3}+\sum_{k=3}^n \frac{1}{k^3} < 1+\frac{1}{2^3}+\int_2^n \frac{1}{x^3} dx$$ $$=1+\frac{1}{8}+\left[-\frac{x^{-2}}{2}\right]_2^n$$ $$=1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2n^2}$$ $$=\frac{5}{4}-\frac{1}{2n^2}
積分する範囲を $[3,n]$ や $[4,n]$ に縮めていくと，$\frac{5}{4}$ よりよい評価ができます．(たとえば，$[3,n]$ の範囲で評価すると，$S_n
