2021-12

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共線条件と共点条件|思考力を鍛える数学

異なる $3$ 点が同一直線上にあるための条件(共線条件)と,異なる $3$ 直線が $1$ 点で交わるための条件(共点条件)の基本的な考え方を紹介します.この記事では,すべて通常の平面上で考えます. 異なるいくつかの点 $p_1,...,...
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立方数となるような式|思考力を鍛える数学

ある自然数 $m$ があって,$m^3$ の形に書ける数を立方数と言います.たとえば,$1,8,27,64,125,...$ などは立方数です. さて,$n$ に $1$ から順に代入していくと,$n!+2$ の値は, $$3,4,8,2...
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三角関数の加法定理|思考力を鍛える数学

三角関数の分野で,最も基本的な定理のひとつが三角関数の加法定理です.三角関数の他の様々な公式が,加法定理から導くことができます.一見ややこしく見えますが,絶対に覚えるべき公式です. 三角関数の加法定理 ($\sin \cos$): $\al...
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三角形と内部の点|思考力を鍛える数学

問 下図のように,$△ABC$ の内部に点 $P$ をとり,$P$ を通り辺 $AB$ に平行な直線と,$CA,BC$ との交点をそれぞれ $D,E$,$P$ を通り辺 $BC$ に平行な直線と,$AB,CA$ との交点をそれぞれ $F,...
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黒板に書かれた数を増やす遊び|思考力を鍛える数学

数遊びに関する問題です.たとえば,はじめは,黒板に $1,2$ が書かれているので $2(1\times 2)+1+2=7$ を新たに書き足すことができます.すると,今度は $1,2,7$ のうち (重複を許して) $2$ つの整数を選ん...
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ドラゴン討伐の魔法の最小発動回数|思考力を鍛える数学

魔法の使用に関して補足します.まず,ドラゴンは自由に指定できます.一匹でも $2018$ 匹でも $OK$ です.ただし,すべての首がすでに切り落とされているドラゴンは指定できないとします.(もうすでに倒されていると考えてください) また...
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下位の桁よりも数字が大きい自然数の個数|思考力を鍛える数学

十進法表記で考えてください.($1$) の条件は,$0$ となる桁がないということです. ($2$) の条件は,右にいくにつれて桁の数が小さくなっていくということです. 場合分けをすれば基本的な組合せの知識で解けますが,実は,発想の転換に...
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2つの長方形の面積の大小|思考力を鍛える数学

長方形に,長方形が接している一般的な状況での問題です.一見しただけでは,どちらが大きいかわかりません.パズルだと思ってみると何か手がかりがつかめるかもしれません. ヒント 大きな長方形から赤色の長方形を除く $4$ つの直角三角形について...
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重複順列の基礎|思考力を鍛える数学

重複を許して並べる順列の基本的な考え方を紹介します. 異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を取り出して並べる順列の総数は ${}_n \mathrm{P}_r$ でした.(→順列の基礎)では,異なる $n$ 個のものから,重複を許...
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円に内接する八角形の面積|思考力を鍛える数学

$AB=BC=AH=HG=2,CD=DE=EF=FG=1$ であるような八角形 $ABCDEFGH$ が円に内接しています.この八角形の面積を求める問題です. 中学数学の知識のみで解くことが可能ですが,それなりの工夫は必要です. ヒント ...
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