この記事の内容は本来は大学で学ぶものですが，高校数学までの知識で理解できます．原始多項式の定義と基本的な性質を紹介します．
原始多項式： 整数係数多項式 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$ は， $a_0,a_1,…,a_n$ の最大公約数が $1$ のとき，$f(x)$ を原始多項式という．
整数係数多項式とは，すべての係数が整数であるような多項式のことです．整数係数多項式全体の集合を $\mathbb{Z}[x]$ という記号で表し，$f(x)$ が整数係数多項式であることを，$f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ と書きます．
原始多項式の例
すべての係数の最大公約数が $1$ かどうかをチェックすればよいです． ・$3x^3+2x+4$ $(3,2,4)$ の最大公約数は $1$ ・$x^4+2$ $(1,2)$ の最大公約数は $1$ ・$-10x^2+6x-15$ $(-10,6,-15)$ の最大公約数は $1$
特に， $1$ や $-1$ の係数をもつ多項式は原始多項式です．
『多項式が有理数の範囲で因数分解できることと，整数の範囲で因数分解できることは同値である』という有用な命題があります．原始多項式はこの命題を証明するために使われる道具です．
原始多項式の最も重要な性質は，『ふたつの原始多項式の積はまた原始多項式である』というものです．
原始多項式の性質： $f(x),g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ を原始多項式とする．このとき，$f(x)g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ は原始多項式である．
例
たとえば，$2x^2-3x+4,\ 4x+3$ はそれぞれ原始多項式です．これらの積は $$(2x^2-3x+4)(4x+3)=8 x^3 – 6 x^2 + 7 x + 12$$ となりますが，$(8,-6,7,12)$ の最大公約数は $1$ なので，これは原始多項式です．
上の原始多項式の性質を証明してみましょう．証明のポイントは，『$(a_0,…,a_n)$ の最大公約数が $1$ $\Leftrightarrow$ 任意の素数 $p$ に対して，$a_0,…,a_n$ のうち $p$ で割り切れないものが少なくともひとつ存在する』という事実です．
証明： $f(x),g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ をそれぞれ $n,m$ 次の原始多項式とする． $$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n$$ $$g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots +b_mx^m$$ とおく．素数 $p$ を任意に選ぶ．$f(x),g(x)$ の $p$ で割り切れない最低次の項をそれぞれ $a_sx^s,\ b_tx^t$ とする．
$f(x)g(x)$ の $x^{s+t}$ の係数は， $$\sum_{i+j=s+t}a_ib_j \cdots (*)$$ であるが，$i < s$ のとき，$a_i$ は $p$ で割り切れるから $a_ib_j$ も $p$ で割り切れる．$j < t$ のとき，$b_j$ は $p$ で割り切れるから $a_ib_j$ も $p$ で割り切れる．したがって，$(*)$ の各項は $a_sb_t$ のみ $p$ で割り切れず，その他の項は $p$ で割り切れる．言い換えると，ある整数 $k$ があって， $$\sum_{i+j=s+t}a_ib_j=a_sb_t+pk$$ と書ける．よって，$x^{s+t}$ の係数は $p$ で割り切れない．任意の素数 $p$ について，$f(x)g(x)$ には $p$ で割り切れない係数の項が存在するので，その最大公約数は $1$ である．つまり，$f(x)g(x)$ は原始多項式である．
