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証明問題を解く上で最も基本的な道具のひとつである，鳩ノ巣原理 (はとのすげんり) について解説します． いま，鳩の巣が $5$ 個あり，鳩が $6$ 羽いるとしましょう．これらの鳩を鳩の巣にどのようにいれたとしても，$2$ 羽以上の鳩が入っ...

$2$ 次方程式の解と係数の関係を簡単におさらいしましょう． $2$ 次方程式の解と係数の関係:　$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0　(a\neq 0)$ の $2$ 解を $\alpha，\beta$ とすると，次の $2$ 式が...

組み立て除法とは，整式 $f(x)$ を $1$ 次式 $x-\alpha$ で割ったときの商と余りを簡単に決定する方法です．整式の割り算は筆算を使えばもちろん答えが求まります．しかし，整式を $1$ 次式で割る場合には組み立て除法が使えま...

$1$ の三乗根とは，$3$ 乗して $1$ となる複素数のことです． 言い換えると，方程式 $x^3=1$ の解のことです．$1$ の三乗根を調べてみましょう． $$x^3-1=0$$ なので，左辺を因数分解すると， $$(x-1)(x^...

何を問うているのかわかるでしょうか．この問題は問題文がその問題文自身について言及しています(自己言及)．一見，問題文には$1〜5$の数字はそれぞれ$1$個ずつしか書かれていないので， $?$ に入る数字はすべて$1$かと思われるかもしれま...

この問題は，イギリスのパズル作家H. E. Dudeney(デュードニー) が $1924$ 年に発表したもので，意味のある文を用いてつくられた最も有名な覆面算の問題です． 各アルファベットには $0$ から $9$ の異なる整数が対応しま...

与えられた多項式を展開してしまえば解けるのですが，計算がかなり大変ですので，ここでは展開せずに解く方法を考えましょう． 与えられた多項式は対称式であり，展開したときの各項の次数がすべて $5$ となる斉次多項式です．これらの特徴をうまく利用...

等式の最大値を求める問題です．当然，$5!=120$ 通りの全パターンを確かめれば，いつ $S$ が最大値を取るかわかりますが，それは大変面倒です．上手に式変形を工夫すると，$S$ がいつ最大値をとるかがわかります． 並べ替え不等式を知っ...

問題文中の道とは，つまり，鉛筆を紙面に離さずに一筆で描ける曲線のことです．たとえば，紙面上に下図のような $4$ 本の線分からなる図形が書かれていた場合， 次のようにすれば， $4$ 本の線分すべてをちょうど $1$ 回ずつ横切る曲線が...

数え上げの基本的な考え方と，辞書式順序，樹形図というふたつの基本的な道具を紹介します． ある事柄の起こりうる場合の数をすべて調べ尽くすことを，数え上げといいます． 数え上げで最も重要なことは次のふたつです． ・すべての場合を数えもらさないこ...