$1$ の三乗根とは，$3$ 乗して $1$ となる複素数のことです． 言い換えると，方程式 $x^3=1$ の解のことです．$1$ の三乗根を調べてみましょう． $$x^3-1=0$$ なので，左辺を因数分解すると， $$(x-1)(x^2+x+1)=0$$ となります．したがって，これは $x=1$ または $x^2+x+1=0$ と同値です． $x^2+x+1=0$ を解の公式を用いて解くと， $$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}，\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$ の二つの解が得られます． 結局，$1$ の三乗根は， $$\boxed{1，\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}，\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} }$$ の $3$ つであることがわかります． 慣例として，$1$ の三乗根のうち虚数であるもののひとつを $\omega$ （オメガ）で表します．すると，$1$ の三乗根は， $$1，\omega，\omega^2$$ とかけます．実際， $$\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$ $$\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$ より，$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}，\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ のどちらを $\omega$ とおいても，$1$ の三乗根は， $1，\omega，\omega^2$ とかけます．
１の虚数三乗根 $\omega$ はつぎの重要な性質をもちます．
1の虚数三乗根の性質： $1$ の三乗根のうち，虚数であるもののひとつを $\omega$ とする．次の性質が成り立つ．
$$\large ・\omega^3=1$$ $$\large ・\omega^2+\omega+1=0$$ $$\large ・\omega^2=\overline{\omega}=\frac{1}{\omega}$$ $$\large ・|\omega|=1$$
・$\omega$ は $1$ の三乗根だったので，$\omega^3=1$ が成り立つのは当然です． ・$\omega$ は $x^2+x+1=0$ の解でもあるので，$\omega^2+\omega+1=0$ が成り立ちます． ・$\omega$，$\omega^2$ は互いに共役なので，$\omega^2=\overline{\omega}$ が成り立ちます． また，$\frac{1}{\omega}$ の分母分子に $\omega^2$ をかけると， $$\frac{1}{\omega}=\frac{\omega^2}{\omega^3}=\omega^2$$ よって， $\omega^2=\overline{\omega}=\frac{1}{\omega}$ ・最後は，$\omega^3=\omega\times \omega^2=\omega\times \overline{\omega}=|\omega|^2=1$ よりわかります．
これらの性質を用いると，$\omega$ の式を簡単に計算することができます．
例題 $1$ の三乗根のうち，虚数であるもののひとつを $\omega$ とおく．次の式の値を求めよ． $$(1) \omega^{100}+\omega^{200}$$ $$(2) \frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega^4}+1$$
(1) $\omega^3=1$ なので，$\omega$ の指数を $3$ で割ったあまりを考えます． $$\omega^{100}+\omega^{200}=(\omega^3)^{33}\omega+(\omega^{3})^{66}\omega^2=\omega+\omega^2=-1$$
(2) 通分します． $$\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega^4}+1=\frac{\omega^2+1+\omega^4}{\omega^4}=\frac{\omega^2+\omega+1}{\omega}=0$$
１の虚数三乗根 $\omega$ を用いれば，多項式が $x^2+x+1$ という因数をもつかどうか，簡単に確かめることができます．
例題 多項式 $x^5+x^4+2x^3-1$ を因数分解せよ．
一見すると，因数分解できなさそうですが，試しに $x=\omega$ を代入して計算してみると， $$\omega^5+\omega^4+2\omega^3-1=\omega^2+\omega+1=0$$ 同様に，$x=\omega^2$ を代入すると， $$\omega^{10}+\omega^{8}+2\omega^6-1=\omega+\omega^2+1=0$$ よって，因数定理から，多項式は $x-\omega，x-\omega^2$ を因数にもつことがわかります．$(x-\omega)(x-\omega^2)=x^2+x+1$ なので，結局，$x^2+x+1$ を因数にもちます．そこで，$x^5+x^4+2x^3-1$ を $x^2+x+1$ で割り算して， $$x^5+x^4+2x^3-1=(x^2+x+1)(x^3+x-1)$$ と因数分解できます．
問 $1$ の三乗根のうち，虚数であるもののひとつを $\omega$ とおく．次の式を計算せよ． $$(\omega^2-\omega+1)^4+(\omega^2-\omega-1)^4$$
最初の項には，$\omega^2=-\omega-1$ を代入し，二番目の項には，$-\omega-1=\omega^2$ を代入すると， $$(-2\omega)^4+(2\omega^2)^4=16(\omega^2+\omega)=-16$$ となります．
問 $1$ の三乗根のうち，虚数であるもののひとつを $\omega$ とおく．次の式を計算せよ． $$\sum_{k=1}^{2000} \frac{1}{\omega^k}$$
$\omega^3=1$ であるから，求める和は周期 $3$ で繰り返します．$2000=3\times 666+2$ なので， $$\sum_{k=1}^{2000} \frac{1}{\omega^k}=666\left(\frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^2}+1\right)+\frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^2}$$ ここで， $$\frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^2}+1=\frac{\omega^2+\omega+1}{\omega^2}=0$$ なので， $$\sum_{k=1}^{2000} \frac{1}{\omega^k}=\frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^2}=\frac{\omega+1}{\omega^2}=-1$$ よって，$-1.$
問 $f(x)=(x^{10}+1)^{20}+(x^{10}+1)^{10}+1$ は $x^2+x+1$ で割り切れるか．
$f(\omega)，f(\omega^2)$ を計算するとともに $0$ になります．よって，$f(x)$ は $x^2+x+1$ で割り切れます．
