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説明のために$6$種類のカードをそれぞれ$A,B,C,D,E,F$としましょう．合計$120$枚のカードを何人かの子供に分け与えます．このとき，$1$人の子供に対して同じ種類のカードを$2$枚以上は配りません． 問題文最後の条件は，$2$...

三角比の練習問題のつもりで出題しました．($1$) は初等幾何の知識のみで解けます．また，三角比を用いて順番に長さを求めていっても求まります．($2$) は解き方によっては多少計算が複雑になるかもしれません．また，答えの表示の仕方はいろい...

$a+b+c$ を満たす非負整数 $a,b,c$ の組は全部で，${}_{7+2} \mathrm{C} _{2}=36$ 通りあります．$36$ 通りすべてについて ${}_{10} \mathrm{C} _a\dot {}_{10} ...

グラフ理論の問題ですが，特別な知識は必要ありません．以下では，状況を簡略化するために，人を点で表し，『$2$ 人が互いに知り合いである』という状況を， $2$ 点を線分で結ぶことで表します．同様に，『$2$ 人が互いに知り合いでない』とい...

ピースを組み合わせて大きな正方形をつくるパズルの問題です．ピースを奇数個しか用いてはいけないことに注意してください．もし，偶数個用いることができるならば，$2$ 個組み合わせて，以下の様な $3 \times 4$ の長方形がつくれます．...

3つの直角三角形とその内接円に関する問題です．図形の問題ですので，まずは図を書いてみましょう． $△ABC$の内接円は書くと図が混雑するのであえて書きませんでした．図を書くときは，全部を一つの図に書くのではなく，部分的な箇所だけ書いたほ...

$1$ 辺の長さが $1$ の正方形 $PQRS$ が三角形 $ABC$ に接しています．$BC=2$ で $P$ は $BC$ の中点であるとき，$AR$ の長さを求める問題です． 問題の条件から，$BP=CP=PS=SR=RQ=QP=...

古典的な整数問題です．どこかで見たことがある方もいるのではないでしょうか．問題文の補足をします.一番はじめにロッカーを開け閉めする生徒はすべてのロッカーを開けることになります(大変ですが)．$2$番目の生徒は偶数の番号がつけられたロッカー...

問題文に書き忘れた注意がひとつあります． $2$ つの既約分数は一応どちらも正であると仮定してください．そうでないと，たとえば， $$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$$ などの式を $$\frac{3}{2}+\fra...