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正の整数の組 $(x,y)$ であって，$\frac{x^2+y}{y^2-x}$ と $\frac{y^2+x}{x^2-y}$ がともに整数になるようなものをすべて見つける問題です．標準的な大学入試レベルの問題です． たとえば，$(x...

非常にシンプルな最大化問題です．$4$ 変数 $x,y,z,w$ には $2$ つの等式制約があります．つまり，和と二乗和が一定の値であるという制約です．この $2$ つの制約のもとで $4$ 変数が動くとき，$x$ が最大となるようなと...

パップスの六角形定理とは，射影幾何学における基本的で重要な定理です． パップスの六角形定理：　同一平面上にある $2$ 直線 $l_1,l_2$ 上の $3$ 点をそれぞれ $A,B,C;A',B',C'$ とする．直線 $AB'$ と $...

$x,y$ は互いに素 (つまり最大公約数が $1$) であるような自然数の組です．このとき，$x^{2n}+y^{2n}$ が $x+y$ の倍数となるときはいつか，というのが問題です．$x^{2n}+y^{2n}$ という式をみて何か...

$1$ 変数多項式の最大公約数，最小公倍数の定義と例を紹介します． まずは，整数の最大公約数，最小公倍数について復習しましょう．この記事では，約数や倍数といえば常に自然数の範囲で考えることにします． $2$ つ以上の整数において，それらに共...

集合 $S=\{1,2,...,10\}$ の空でない部分集合は $2^{10}-1$ 個あります．このうち，$2^9+1$ 以上 (つまり，だいたい半分より多く)の部分集合を好きなように選びます．どのように選んだとしても，そのうちのどれ...

分数同士の大きさの比較を，図形的意味を考えることで直感的に理解する方法を紹介します． いくつかの分数が与えられたとき，それらを組み合わせてできる新しい分数ともとの分数との大きさの関係に関する一連の公式群を加比の理といいます．たとえば，以下は...

2つの数列の積和を一方の数列の部分和と，もう一方の数列の差分で表現する公式を紹介します． アーベルの総和公式とは，積和に関する以下の等式です．これはかなりマニアックな公式で，数学オリンピックなどで稀に関連する問題が出題されています．覚えてお...

$1$ から $2n$ までの $2n$ 個の数を要素数の等しい $2$ つのグループにわけることを考えます．一方のグループを数の大きい順に並べて，もう一方のグループを数の小さい順に並べます．そして，それらの差の絶対値の総和を計算すると，...