非常にシンプルな最大化問題です．$4$ 変数 $x,y,z,w$ には $2$ つの等式制約があります．つまり，和と二乗和が一定の値であるという制約です．この $2$ つの制約のもとで $4$ 変数が動くとき，$x$ が最大となるようなときはいつか，という問題です．
解答例1
コーシー・シュワルツの不等式より， $$3(y^2+z^2+w^2)\ge (y+z+w)^2$$ が成り立ちます．この不等式に条件式を代入すると， $$3(12-x^2)\ge (6-x)^2$$ を得ます．整理すると， $$x(x-3)\le 0$$ となるので，$0 \le x\le 3$ を得ます．$x=3，y=z=w=1$ とすると，条件式を満たすので，求める $x$ の最大値は $3$ となります．
解答例2
第1式を第2式に代入すると， $$x^2+y^2+z^2+w^2=2(x+y+z+w)$$ すなわち， $$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+(w-1)^2=4$$ を得ます．ここで，$X=x-1,Y=y-1,Z=z-1,W=w-1$ とおくと， $$X^2+Y^2+W^2+Z^2=4$$ となります．このとき，$X$ の最大値は $2$ です．($X=2,Y=Z=W=1$ のとき，$X$ が最大となる) したがって，$x$ の最大値は $3$ となります．(実際，$x=3，y=z=w=1$ とすると，条件式を満たす)
