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整数問題 (特に剰余に関わる問題) で絶大な威力を発揮する合同式の基礎事項について解説します． 整数問題の中でも特によく出題されるのが剰余に関わる問題です．剰余とは余りのことで，たとえば，『$2^{40}$ を $7$ で割った余りを求めよ...

整数と，論理を複合した問題です．$A,B,C,D$ の発言のうち，ひとりだけ誤りの主張をしているのが厄介です． ヒント 誰が誤りの主張をしているのかはすぐにわからなくても，少なくとも誰が本当の主張をしているのかはすぐにわかります．その主張...

$f(x)$ は整数係数多項式なので，すべての整数 $m$ に対して，$f(m)$ は整数になります．つまり，$f(m+f(m))$ も，$f(m)$ も整数です．一般に，整数 $a$ が，整数 $b$ の倍数であるとは，ある整数 $k$...

高校数学ではなじみのないグラフの問題です．見た目のいかつさほど難問ではなく，特にグラフ理論の知識は必要ないので，はじめてこのような問題を見た人もチャレンジする価値はあると思います. ひとつ目の条件に関して，島にかかっている橋の本数としてあ...

$x,y$ は有理数であることに注意してください．$x^2+y^2=3$ を満たす整数 $x,y$ は存在しないことはすぐにわかります．では，有理数の場合はどうでしょうか，という問題です．問題文が「〜は存在しないことを示せ」と否定の形にな...

柔軟な発想が求められる問題です．何から手をつけていいのかわからないかもしれませんが，まずはいろいろ実験してみましょう． 与えられた問題より簡単そうな問題を考えたり，極端な例を考えてみることは重要です． 単純化してみる 与えられた問題が難し...

問題文の補足説明をすると，$a+b$個の球が入った袋から，一つずつ球を取り出していくのですが，取り出す作業の最中はいつでも，取り出した赤い球の数の合計が白い球の数の合計より多くなければいけません．例を見てみましょう． 具体的な例 例えば，...

一般的な状況に対して，場合の数を求める標準的な問題です． まずは状況をきちんと把握することから始めましょう．キャッチボールなので，問題文の通り自分自身にボールを投げることはありません．ボールが$n$回移動することを$n$パスと呼ぶことにし...

数学オリンピックでは頻出の平方数ではないことの証明です．その中でも割と素直に解ける問題です．ただし，初見では方針が見つからず，難しいと思います．問題文の意味は，いかなる正整数$n$に対しても，$n^4+2n^3+2n^2+n+2$は平方数...

正方形の大きさは問題には関係ないので，適当に決めても一般性を失いません．$2$ 行目のただし書きにより，点 $P$ をひとつ決めると $4$ 本の直線の引き方が決定します．したがって，正方形がどのように $8$ つの領域に分けられるかは，...