$f(x)$ は整数係数多項式なので，すべての整数 $m$ に対して，$f(m)$ は整数になります．つまり，$f(m+f(m))$ も，$f(m)$ も整数です．一般に，整数 $a$ が，整数 $b$ の倍数であるとは，ある整数 $k$ があって， $$a=bk$$ とかけることを言います．$k$ は $0$ でもいいので，特に，$0$ はすべての整数の倍数となります．
考え方
整数係数多項式の一般論を問う問題です．今回のように問題が一般的な場合は，一見わかりにくいですが，やるべきことが絞られているので，迷いにくいです．とりあえず，$f(x)$ を文字で表すことを考えましょう．整数係数多項式 $f(x)$ は,整数 $a_0,a_1,…,a_n$ を用いて，$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ とかけます．
解法
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ とおきます．ただし，$a_0,a_1,…,a_n$ はすべて整数． \begin{array}{ll} f(m+f(m))&=a_n(m+f(m))^n+a_{n-1}(m+f(m))^{n-1}+\cdots+a_1(m+f(m))+a_0 \\ \\ f(m)&=a_nm^n+a_{n-1}m^{n-1}+\cdots+a_1m+a_0 \end{array}
なので，辺々ひくと， $$f(m+f(m))-f(m)=a_n \left\{ (m+f(m))^n-m^n \right\}+a_{n-1}\left\{(m+f(m))^{n-1}-m^{n-1}\right\}+\\ \cdots+a_1\left\{(m+f(m))-m\right\}$$ となります．各 $k (1 \le k \le n)$ に対して， $$(m+f(m))^k-m^k$$ が $f(m)$ の倍数であることを示せば十分です．二項定理より， \begin{array}{ll} (m+f(m))^k &=\sum_{i=0}^k {}_k \mathrm{C} _i\ m^i\left\{f(m)\right\}^{k-i} \\ &=\left\{f(m)\right\}^k+k\ m\left\{f(m)\right\}^{k-1}+\cdots+k\ m^{k-1}\left\{f(m)\right\}+m^k \end{array} これより， $$(m+f(m))^k-m^k=\left\{f(m)\right\}^k+k\ m\left\{f(m)\right\}^{k-1}+\cdots+k\ m^{k-1}\left\{f(m)\right\}$$ となるので，$(m+f(m))^k-m^k$ は $f(m)$ の倍数です．
以上より，$f(m+f(m))$ が $f(m)$ の倍数であることが示せました．
