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数列がある不等式を満たすとき，その数列が単調に減少することを示す問題です． $\{a_{n}\}$ が等差数列であることに注意してください．等差数列が単調減少数列であるとはどういうことでしょうか． 解法 $1$ $\{a_n\}$ の公差...

整式に関する問題です．$f(x)$ はすべての係数が整数であるような多項式です. $a_1,a_2,...,a_n$ はすべて異なる整数で， $$f(a_1)=a_2,　f(a_2)=a_3,\cdots,f(a_{n-1})=a_n,　...

今回は和の計算の工夫についての問題です．見かけはかなりゴツい式です．この式を $n=1,2,3,...$ と順番に足していこうとすると，何日かかるかわかりません．そこで，どうにかして足し方を工夫してきれいに解く方法がないか考えましょう． ...

今回は代数分野の中でも特に整式の処理に関する問題です．$n$次多項式 $f(x)$ は $n+1$箇所で取る値がすでに決まっています．すなわち， $$f(0)=0,　f(1)=\frac{1}{2},　f(2)=\frac{4}{3},....

自然数，整数における割り算の原理について解説します． みなさんが当たり前のように使っている割り算について，あらためて踏み込んで考えてみましょう． 『$7$ つのりんごを $3$ 人に同じ数ずつ(できる限りあまりが少なくなるように)配ると，ひ...

$△ABC$ が直角三角形となるための同値条件を示す問題です． ここでは簡単のために，$A,B,C$ という記号でそれぞれ，$\angle A,\angle B,\angle C$ を表すこととします． $\sin^2 x + \cos^...

問題の図は右の図のようになります．ここで，$BC$と$AO$の交点を$Y$,$BP$と$AO$の交点を$S$,$BP$と$AT$の交点を$X$としました．示すべきは，$AT$が線分$BP$を二等分することです． 幾何の問題を解くときは解...

たとえば，$5$ つの島の関係が下の図のようになっていたとしましょう．船で行き来できる箇所が $4$ つあり，橋がかかっている箇所が $6$ つあります． この場合は橋を使えば，どの島から別の島へもたどりつけることがわかります．(この場...

数学オリンピックでは頻出の不等式の証明問題です．特に，問題のように巡回式の形になっているものはよく見かけます． ここで，$3$変数有理式 $f(a,b,c)$ が巡回式とは， $$f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)$$ ...

巡回型の連立方程式の問題は数学オリンピック等ではよく出題されます．愚直に計算するというよりも巡回式であることを利用した式変形の工夫でうまく解くことが要求されています．今回は愚直に計算しても解くことができる問題ですが，あまりに計算が複雑すぎ...