Lion

一般的な状況に対して，場合の数を求める標準的な問題です． まずは状況をきちんと把握することから始めましょう．キャッチボールなので，問題文の通り自分自身にボールを投げることはありません．ボールが$n$回移動することを$n$パスと呼ぶことにし...

数学オリンピックでは頻出の平方数ではないことの証明です．その中でも割と素直に解ける問題です．ただし，初見では方針が見つからず，難しいと思います．問題文の意味は，いかなる正整数$n$に対しても，$n^4+2n^3+2n^2+n+2$は平方数...

正方形の大きさは問題には関係ないので，適当に決めても一般性を失いません．$2$ 行目のただし書きにより，点 $P$ をひとつ決めると $4$ 本の直線の引き方が決定します．したがって，正方形がどのように $8$ つの領域に分けられるかは，...

平面上に相異なる $4$ 点をとります．この $4$ 点から $2$ 点を選ぶ選び方は ${} _{4} \mathrm{C} _{2}=6$ の $6$ 通りあります．したがって， $2$ 点間の距離としては一般には $6$ 種類ありえ...

一気に示すのではなく，$2$ 段階に分けて示します．まず，問題中に与えられた操作を有限回行うと，いずれは必ず一桁になるということを示します．そして， $9$ の倍数にこの操作を行っても再び $9$ の倍数になることを示します．この $2$...

標準的な順列の問題です．以下，説明をわかりやすくするために座席に左から $1$ から $7$ までの番号を振って区別します． 最初に席に座る人は $7$ つのどの席に座っても良いですが，$2$ 番目以降に座る人は，前に座った人によって，...

この問題はJMO2016年度本選第一問の類題です． 問題文の意味を補足しましょう．「任意の」というのは「どのような」という意味です．つまり，$1$ 以上 $p$ 未満のどのような整数$m$ をとってきても，$m$ が $kp+1$ の約数...

あまり見慣れないような整数の問題ですが，比較的やさしめの問題です．特別な知識は何もいりません 合成数とは$1$と自分自身以外に少なくとも$1$つ以上の約数をもつ整数のことです．奇数の合成数は小さい方から順に，$9,15,21,25,27....

$2007$年度の京都大学の入試問題の類題です．階段を$1$歩または$2$歩で昇る問題は中学受験でもよくある問題ですが，今回は$1$歩で$1$段昇ることは連続しないという条件がついています．この処理がポイントになります． まずは$15$段...

整数解の組をすべて決定する問題です．整数の組を代入してすべてを調べ尽くすことは不可能なので，ある程度条件を絞らなけばなりません．基本的に整数解をすべて決定する問題は次のいずれかの方法で条件を絞ることが可能です． 方法1. 余りに注目して解...