$x,y$ をそれぞれ実数として，$i$ を虚数単位 (つまり， $2$ 乗して $-1$ になる数) とするとき， $$x+yi$$ と表される数を複素数と呼びます．
注意
複素数には，大小関係が存在しません！実数の範囲内であれば，$2$ つの実数 $a$ と $b$ を比べて，どちらか大きいか考えることができましたが，ふたつの複素数をくらべて，どちらが大きいかを考えることはできません．
複素数 $z$ が $z=x+yi$ ($x,y$ は実数) と表せられているとき，$x$ を $z$ の実部 といい，$Re(z)$ で表します．
また，$y$ を $z$ の虚部といい，$Im(z)$ で表します．
ふたつの複素数 $z_1，z_2$ について，それぞれの実部同士と虚部同士が等しいとき，$z_1，z_2$ は等しいといい，$z_1=z_2$ と書きます．つまり， $$z_1=z_2 \Leftrightarrow Re(z_1)=Re(z_2) かつ Im(z_1)=Im(z_2)$$ です．これを複素数の相当条件といいます．
特に，複素数 $z$ が $0$ と等しくなるのは，実部と虚部がともに $0$ のときに限ります．
複素数の足し算と引き算は，実部同士，虚部同士についてそれぞれ行います．これは，虚数単位 $i$ を一つの文字だと思えば，多項式の加法・減法と全く同じです．
加法
$$・(3+2i)+(-2+4i)=(3-2)+(2+4)i=1+6i$$ $$・i+(1+i)+(2+i)+(3+i)=6+4i$$
減法
$$・(2-i)-(4-3i)=(2-4)+(-1+3)i=-2+2i$$ $$・1-(1-i)-(2-i)-(3-i)=(1-1-2-3)+(1+1+1)i=-5+3i$$
複素数の掛け算と割り算も，加法・減法と同様に，$i$ をひとつの文字だと思って，計算すればよいですが，ひとつ注意が必要で， $$i^2=-1$$ なので，$i^2$ という項が出てきた場合はそれを $-1$ で置き換えて簡単にします．
重要なことは，複素数は四則演算について閉じでいる (つまり，複素数の加減乗除の結果は再び複素数になる)ので，計算結果は必ず $x+yi$ ($x,y$ は実数) の形になるということです．
乗法
$$・(2+3i)(1+4i)=2+8i+3i+12i^2=(2-12)+(8+3)i=-10+11i$$ $$・\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{3}{4}i^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$ $$・i^{99}=i^{98}i=(i^{2})^{49}i=(-1)^{49}i=-i$$
除法
割り算は，分母の共役複素数を，分母分子にかけて行います．つまり，分母が $x+yi$ ($x,y$ は実数) のときは，$x-yi$ を分母分子にかけます．これは，分母を実数にするためです．有理化のときと発想は似ています． $$・\frac{3+i}{1+2i}=\frac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{(3+2)+(-6+1)i}{1+4}=\frac{5-5i}{5}=1-i$$ $$・\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i$$
以上，複素数の四則演算を紹介しました．まとめると， 複素数の計算のポイントはつぎの３つです． $1.$ $i$ を文字だと思って計算する. $2.$ $i^2=-1$ を適宜使って，式を簡単にする.
$3.$ 最終的な計算結果を $x+iy$ ($x,y$ は実数) の形にする.
