複素数 $z=a+ib$ ($a,b$ は実数，$i$ は虚数単位) に対して， $a-ib$ を $z$ の共役複素数といい，$\overline{z}$ と表記します．(これは，zバーと読むことが多いです．) つまり，複素数 $z$ の共役をとるということは，虚部の $\pm$ の符号を変えるということです．複素数平面上では，この操作は，実軸に関する対称移動に対応しています．
複素数の共役をとる操作は，和，積，商などの演算と互いに可換 (交換可能) です．そのことを確かめてみましょう．
$z,w$ を複素数とするとき，次が成り立つ．
$$(1)\large \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$$ $$(2)\large \overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$$ $$(3)\large \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$$
証明： 実数 $a,b,c,d$ と虚数単位 $i$ を用いて， $$z=a+ib,\ w=c+id$$ とおく． (1)： $z+w=(a+c)+i(b+d)$ なので，$\overline{z+w}=(a+c)-i(b+d).$ 一方，$\overline{z}=a-ib,\ \overline{w}=c-id$ より，$\overline{z}+\overline{w}=(a-ib)+(c-id)=(a+c)-i(b+d).$ よって，$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$ (2)： $zw=(ac-bd)+i(ad+bc)$ なので，$\overline{zw}=(ac-bd)-i(ad+bc)$ 一方，$\bar{z}\bar{w}=(a-ib)(c-id)=(ac-bd)-i(ad+bc)$ よって，$\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$
(3)： $$\frac{z}{w}=\frac{a+ib}{c+id}=\frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}=\frac{(ac+bd)+i(-ad+bc)}{c^2+d^2}$$ したがって， $$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{(ac+bd)-i(-ad+bc)}{c^2+d^2}=\frac{(ac+bd)+i(ad-bc)}{c^2+d^2}$$ 一方， $$\frac{\overline{z}}{\overline{w}}=\frac{a-ib}{c-id}=\frac{(a-ib)(c+id)}{(c-id)(c+id)}=\frac{(ac+bd)+i(ad-bc)}{c^2+d^2}$$ よって，$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$
共役複素数と絶対値の関係を見てみましょう． 上と同様に，$z=a+ib,\ \overline{z}=a-ib$ とします．このとき，複素数の絶対値の定義から， $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$ です．一方， $$|\overline{z}|=\sqrt{a^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}$$ なので，結局，$|z|=|\overline{z}|$ です．
また， $$z\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=|z|^2$$ であることもわかります．
$z,\overline{z}$ について，次が成り立つ． $$(1)\large |z|=|\overline{z}|$$ $$(2)\large z\overline{z}=|z|^2$$
上の性質を用いると，$2$ つの複素数 $z,w$ についての次の公式が簡単に導かれます．ポイントは，複素数の絶対値は $2$ 乗して考えるということです．
$z,w$ を複素数とすると，次が成り立つ．
$$(1) \large |zw|=|z||w|$$ $$(2) \large \left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$$
証明： (1)： $$|zw|^2=(zw)(\overline{zw})=zw\bar{z}\bar{w}=(z\bar{z})(w\bar{w})=|z|^2|w|^2$$ (2)： $$|z|=\left|w\frac{z}{w}\right|$$ ここで，(1) より， $$\left|w\frac{z}{w}\right|=|w|\left|\frac{z}{w}\right|$$ となるから， $$|z|=|w|\left|\frac{z}{w}\right|$$ この両辺を $|w|$ で割ると， $$\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$$ が得られる．
上のふたつの公式は，$z=a+ib,\ w=c+id$ などとおいて計算しても導けますが，計算がやや煩雑になって面倒です．共役複素数などの基本的な性質を知っていれば，上の証明のように，簡単に導くことができます．
