ホーム >> 幾何 >> 二等辺三角形と二等分線
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問題の説明

初等的な求角問題です.中学数学の知識で解けますが,発想力がそれなりに必要です.$AB+CD=BC$ をどう使うかが最大の問題です.$AB$ と $CD$ は一見関係のない辺なので,そのままこの等式を使おうとするのは厳しそうです.どのようにすればこの等式を有効に使えるかを考えてみてください.

解答例

線分 $BD$ に関して,$A$ と対称な点 $E$ をとります.$BD$ が $\angle ABC$ の二等分線であることから,$E$ は辺 $BC$ 上にあります.
二等辺三角形
$△ABD \equiv △EBD$ なので,$AB=EB$ です.これと仮定の $AB+CD=BC$ より, $$EB+CD=BC$$ すなわち,$CD=BC-EB=CE$ を得ます.つまり,$△CDE$ は $CD=CE$ の二等辺三角形です.
二等辺三角形
$\angle DBC=x$ とおくと,$\angle ACB=2x$ なので,$\angle CED=\angle EDC=\frac{180°-2x}{2}=90°-x$ です.したがって, $$\angle DEB=180°-\angle CED=180°-(90°-x)=90°+x$$ です.一方, $$\angle EDB=\frac{1}{2} \angle EDA=\frac{1}{2} (180°-\angle EDC)=\frac{1}{2}(180°-(90°-x))=45°+\frac{1}{2}x$$ となります.
二等辺三角形
したがって,$△DBE$ に着目すると, $$x+90°+x+45°+\frac{1}{2}x=180°$$ したがって,$x=18°$ を得ます.よって, $$\angle ABC=2x=36°$$ となります.