ホーム >> 代数 >> 和と二乗和が定数の最大化問題
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問題の説明

非常にシンプルな最大化問題です.$4$ 変数 $x,y,z,w$ には $2$ つの等式制約があります.つまり,和と二乗和が一定の値であるという制約です.この $2$ つの制約のもとで $4$ 変数が動くとき,$x$ が最大となるようなときはいつか,という問題です.

解答例1

コーシー・シュワルツの不等式より, $$3(y^2+z^2+w^2)\ge (y+z+w)^2$$ が成り立ちます.この不等式に条件式を代入すると, $$3(12-x^2)\ge (6-x)^2$$ を得ます.整理すると, $$x(x-3)\le 0$$ となるので,$0 \le x\le 3$ を得ます.$x=3,y=z=w=1$ とすると,条件式を満たすので,求める $x$ の最大値は $3$ となります.

解答例2

第1式を第2式に代入すると, $$x^2+y^2+z^2+w^2=2(x+y+z+w)$$ すなわち, $$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+(w-1)^2=4$$ を得ます.ここで,$X=x-1,Y=y-1,Z=z-1,W=w-1$ とおくと, $$X^2+Y^2+W^2+Z^2=4$$ となります.このとき,$X$ の最大値は $2$ です.($X=2,Y=Z=W=1$ のとき,$X$ が最大となる) したがって,$x$ の最大値は $3$ となります.(実際,$x=3,y=z=w=1$ とすると,条件式を満たす)