整数に関する文章問題です．合計の代金と各切手の値段しか与えられていませんが，$310$ 円切手を何枚買ったかがわかります．実は，$140$ 円切手や $280$ 円切手をいくつ買ったかはわからないところがこの問題の面白いところです．
考え方・ヒント
変数を設定して方程式を立てるまでは簡単です．問題はそこからです．ある数の倍数に着目して巧妙に式変形するとうまくいきそうです．
解説
$140$ 円切手，$280$ 円切手，$310$ 円切手をそれぞれ $x,y,z$ 枚買ったとします． $$140x+280y+310z=4100$$ とりあえず，両辺 $10$ で割って式を簡単にします． $$14x+28y+31z=410 \cdots (1)$$ この式をつぎのように式変形します $^{(*)}$． $$3(z+1)=7(59-2x-4y-4z)$$ これより，ある整数 $m$ があって，$z+1=7m$ とかけます．(すなわち $z+1$ は $7$ の倍数) $z=7m-1$ なので，$z=6,13,20,…$ がわかります．ここで，$z\ge 20$，すなわち $310$ 円切手を $20$ 枚以上買ったとすると，$310\times 20=6200 > 4100$ となり，合計代金を上回ってしまうので不合理です．したがって，$z=6,13$ です． $z=13$ とすると，$310\times 13=4030$ ですが，$140$ 円切手と $280$ 円切手をどう買っても合計代金がちょうど $4100$ 円になることはありません．よって，$\boxed{z=6}$ です．
実際，$z=6$ のとき $(x,y,z)=(16,0,6),(2,7,6)$ などの買い方があります．他にもいろいろな買い方があるので，$140$ 円切手や $280$ 円切手をいくつ買ったのかは問題の条件からはわかりません．
補足
$(*)$ における式変形を思いつけるかどうかがほとんどすべてなのですが，この式変形はたとえば次のような考察をすれば導けます．
まず，($1$) 式を眺めると，$14x$ と $28y$ が $7$ の倍数で，$31,410$ は $7$ の倍数ではないことに気づきます．したがって，$31z$ と $410$ を $7$ で割った余りは一致していなければなりません．$31=4\times 7=3，410=58\times 7+4$ ですから，$3z$ を $7$ で割った余りは $4$ でなければなりません．つまり，$3(z+1)$ は $7$ の倍数です．このような発想に基づけば，上述の式変形を導くことができるでしょう．
