$47!=1\times 2\times \cdots \times 47$ のことです．題材は整数ですが，個数を数える問題なので，組合せの問題です．$47!$ はとても大きな数なので，問題の条件を満たす $a,b,c$ の組も非常にたくさんあることが容易に予想されます．したがって，ひとつひとつ数えていてはキリがありません．何らかの工夫が必要です．
ちなみに，答えはかなり大きな数になります．
ヒント
この問題の一番のポイントは，$a,b,c$ のどの $2$ つも互いに素 という条件です．言い換えれば，$a,b,c$ のどの $2$ つも共通の素因数をもちません．この条件をいかに使うかが鍵となります．
解答例
$47!$ の素因数は， $$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$$ の合計 $15$ 個です．$abc=47!$ であり，$a,b,c$ はどの $2$ つも互いに素なので，共通の素因数をもちません．たとえば，$a$ が素因数 $17$ をもてば，$b$ も $c$ も $17$ を素因数にもつことはありません．つまり，これら $15$ 個の素因数は，完全に $3$ つに分割されなければならないということです．したがって，この問題は $15$ 個のものを $3$ つのグループに分ける組分けの問題に帰着されます．(組分けに関しては，→重複順列の基礎 を参照してください) そこでまず，上の $15$ 個の数字を $3$ つの箱 $A,B,C$ に分けることを考えます．ただし，空の箱があってもよいとします．この分け方は $3^{15}$ 通りです．もし，空の箱がちょうど $2$ つあるとすると，その分け方は $a,b,c$ のうち，$2$ つが $1$ ということに対応し， $a < b< c$ という条件を満たさないので除外します．(空の箱がちょうど $2$ つあるような分け方は $3$ 通りです) そうでないときは，グループの分け方が問題の条件の $a,b,c$ の組に対応します．ただし，$3!=6$ 通りのグループ分けがちょうどひとつの $a,b,c$ の組に対応します．
よって，求める組の数は， $$\frac{3^{15}-3}{3!}=2391484$$ $\boxed{2391484}$ 個です．
