異なる $3$ 点が同一直線上にあるための条件(共線条件)と，異なる $3$ 直線が $1$ 点で交わるための条件（共点条件）の基本的な考え方を紹介します．この記事では，すべて通常の平面上で考えます．
異なるいくつかの点 $p_1,…,p_n$ が同一直線上にあるとき，それらの点を通る直線を ($p_1,…,p_n$ の) 共線といいます．このとき，$p_1,…,p_n$ は共線をもつといいます．
当然のことながら，平面上の異なる $2$ 点はつねに共線をもちます．しかし，相異なる $3$ 点以上の点は共線をもつこともあれば，もたないこともあります．
共点条件
異なるいくつかの直線 $l_1,…,l_n$ が $1$ 点で交わるとき，その点を ($l_1,…,l_n$ の) 共点といいます．このとき，$l_1,…,l_n$ は共点をもつといいます．
平面上の異なる $2$ 直線はつねに共点 (交点) をもつとは限りません．$2$ 直線が平行のときは共点は持たず，そうでないときは共点を持ちます．$3$ 本以上の直線は，すべて平行ならば，共点を持ちませんが，すべては平行でないからといって共点を持つとは限りません．
平面上に $3$ 点が与えられたとき，それらが同一直線上にあるための条件を考えてみましょう．
例題 $3$ 点 $A (-1,2)，B(2,3)，C(3a+2,-a+5)$ が同じ直線上にあるとき，定数 $a$ の値を求めよ．
考え方 $
直線 $AB$ 上に点 $C$ があると考えます．
直線 $AB$ の方程式は， $$y=\frac{3-2}{2-(-1)}(x-(-1))+2$$ すなわち， $$y=\frac{1}{3}(x+1)+2$$ です．点 $C$ がこの直線上にあるので， $$-a+5=\frac{1}{3}(3a+2+1)+2$$ したがって，$\boxed{a=1}$ です．
考え方 $
直線 $AB$ と直線 $BC$ の傾きが同じであると考えます．
$a=0$ のときは $3$ 点は同一直線上にないことがすぐに確認できるので，$a\neq 0$ とします． 直線 $AB$ の傾きは， $$\frac{3-2}{2-(-1)}=\frac{1}{3}$$ です．一方，直線 $BC$ の傾きは $$\frac{3-(-a+5)}{2-(3a+2)}=\frac{a-2}{-3a}$$ したがって， $$\frac{1}{3}=\frac{a-2}{-3a}$$ これを解いて，$\boxed{a=1}$ と求まります．
上の考察をもとにして，一般的な状況を考えてみましょう． 平面上に相異なる $3$ 点 $A(a_1,a_2)，B(b_1,b_2)，C(c_1,c_2)$ が与えられているとします．この $3$ 点が同一直線上にあるための条件を，$3$ 点の座標で表すのが目標です． まず，$a_1\neq b_1,a_1\neq c_1$ のときを考えます．$A,B,C$ が同一直線上にあるための必要十分条件は，直線 $AB$ の傾きと直線 $AC$ の傾きが等しいということなので， $$\frac{a_2-b_2}{a_1-b_1}=\frac{a_2-c_2}{a_1-c_1}$$ が成り立ちます．これより， $$(a_2-b_2)(a_1-c_1)=(a_2-c_2)(a_1-b_1)$$ となり，整理すると， $$(a_1b_2-a_2b_1)+(b_1c_2-b_2c_1)+(c_1a_2-c_2a_1)=0 \cdots (*)$$ が得られます． また，$a_1=b_1$ のときは，$A,B,C$ が同一直線上にあるための条件は明らかに $a_1=b_1=c_1$ が成り立つことですが，($*$) に $a_1=b_1$ を代入すると， $$(b_2-a_2)(a_1-c_1)=0$$ となり，$A,B$ は相異なるので，$a_1=c_1$ が得られます．つまり，$a_1=b_1$ のときも 式 $(*)$ を満たすことが，$A,B,C$ が同一直線上にあるための必要十分条件です．
$a_1=c_1$ のときも同様です．結局，つぎの結果が得られます．
共線条件： $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ を実数とする．
相異なる $3$ 点 $A(a_1,a_2)，B(b_1,b_2)，C(c_1,c_2)$ が同一直線上にあるための条件は $$\large (a_1b_2-a_2b_1)+(b_1c_2-b_2c_1)+(c_1a_2-c_2a_1)=0$$ が成り立つことである．
この結果はわざわざ覚えるほどの公式ではありません．
平面上に $3$ 直線が与えられたとき，それらが $1$ 点で交わるための条件を考えてみましょう．
例題 $3$ 直線 $4x+y-7=0，3x+2y-4=0，ax+y+5=0$ が $1$ 点で交わるとき，定数 $a$ の値を求めよ．
この問題は次のようにして解くことができます．まず， 連立方程式 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 4x + y -7= 0 \\ 3x+2y -4= 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} を解くと，$(x,y)=(2,-1)$ です．$3$ 番目の直線 $ax+y+5=0$ が $(2,-1)$ を通るので， $$2a-1+5=0$$ よって，$a=-2$ です．
上の考察をもとにして，一般的な状況を考えてみましょう．平面上にどの $2$ 直線も平行でないような $3$ 直線 $x_0x+y_0y+z_0=0，x_1x+y_1y+z_1=0，x_2x+y_2y+z_2=0$ が与えられているとします．ただし，$x_0,x_1,x_2,y_0,y_1,y_2,z_0,z_1,z_2$ はすべて実数です．連立方程式 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x_0x + y_0y +z_0= 0 \\ x_1x+y_1y +z_1= 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} を解くと，$(x,y)=(\frac{-y_1z_0+y_0z_1}{x_0y_1-x_1y_0},\frac{x_1z_0-x_0z_1}{x_0y_1-x_1y_0})$ です．$3$ 番目の直線 $x_2x+y_2y+z_2=0$ がこの点を通るので， $$x_2\left(\frac{-y_1z_0+y_0z_1}{x_0y_1-x_1y_0}\right)+y_2\left(\frac{x_1z_0-x_0z_1}{x_0y_1-x_1y_0}\right)+z_2=0$$ すなわち， $$x_2(-y_1z_0+y_0z_1)+y_2(x_1z_0-x_0z_1)+z_2(x_0y_1-x_1y_0)=0$$ が成り立ちます．よって，つぎの結果が得られます．
共点条件： $x_0,x_1,x_2,y_0,y_1,y_2,z_0,z_1,z_2$ を実数とする．
どの $2$ 直線も平行でない平面上の $3$ 直線 $x_0x+y_0y+z_0=0，x_1x+y_1y+z_1=0，x_2x+y_2y+z_2=0$ が $1$ 点で交わるための条件は， $$x_2(-y_1z_0+y_0z_1)+y_2(x_1z_0-x_0z_1)+z_2(x_0y_1-x_1y_0)=0$$ が成り立つことである．
この結果もわざわざ覚える必要はないでしょう．
一般的な状況についての共線条件，共点条件は一見複雑な等式のように見えますが，実は，行列式というものを使って，きれいに書くことができます．理由はここでは説明しませんが，先ほどの結果を行列式を用いて書くとつぎのようになります．
共線条件： $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ を実数とする．
相異なる $3$ 点 $A(a_1,a_2)，B(b_1,b_2)，C(c_1,c_2)$ が同一直線上にあるための条件は $$\left| \begin{array}{ccc} 1 & a_1 & a_2 \\ 1 & b_1 & b_2 \\ 1 & c_1 & c_2 \end{array} \right|=0$$ が成り立つことである．
共点条件： $x_0,x_1,x_2,y_0,y_1,y_2,z_0,z_1,z_2$ を実数とする．
どの $2$ 直線も平行でない平面上の $3$ 直線 $x_0x+y_0y+z_0=0，x_1x+y_1y+z_1=0，x_2x+y_2y+z_2=0$ が $1$ 点で交わるための条件は， $$\left| \begin{array}{ccc} x_0 & x_1 & x_2 \\ y_0 & y_1 & y_2 \\ z_0 & z_1 & z_2 \end{array} \right|=0$$ が成り立つことである．
